Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho mặt phẳng $(P)$. Với điểm $M$ bất kì, đường thẳng qua $M$ vuông góc $(P)$ cắt $(P)$ tại $M'$; $M'$ gọi là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $(P)$. Nếu $M \in (P)$ thì $M' = M$.

• Hình chiếu của đường thẳng $d$ (không vuông góc $(P)$) là đường thẳng $d'$ gồm các hình chiếu của mọi điểm thuộc $d$. Hình chiếu của $d$ là một điểm nếu $d \perp (P)$.
• Hình chiếu của đoạn $AB$ là đoạn $A'B'$ (hình chiếu của hai đầu mút); độ dài $A'B' = AB\cos\varphi$, $\varphi$ là góc giữa $AB$ và $(P)$.
• Hình chiếu của đường thẳng $d$ là giao tuyến của $(P)$ với mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc $(P)$.

Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$.

• Nếu $d \perp (P)$ thì góc giữa $d$ và $(P)$ bằng $90^\circ$.
• Nếu $d$ không vuông góc $(P)$: góc giữa $d$ và $(P)$ là góc giữa $d$ và hình chiếu $d'$ của nó trên $(P)$, kí hiệu $(d, (P))$.
• Nếu $d \parallel (P)$ hoặc $d \subset (P)$ thì góc bằng $0^\circ$.

Cách tính. Lấy điểm $M \in d$ ($M \notin (P)$), hạ $MH \perp (P)$, gọi $O = d \cap (P)$. Tam giác $MHO$ vuông tại $H$ và

$$(d, (P)) = \widehat{MOH}, \qquad \sin(d, (P)) = \frac{MH}{MO} = \frac{d(M, (P))}{MO}.$$

Công thức sin này dùng được cả khi chưa dựng được hình chiếu của $O$, miễn là biết khoảng cách từ $M$ đến $(P)$ (bài khoảng cách).

Khi hình chóp hay lăng trụ có đỉnh $S$ (hoặc $A'$) chiếu xuống đáy tại $H$, mọi bài toán về góc quy về tìm đúng vị trí $H$:

Giả thiết	Chân đường cao $H$
Hình chóp đều	tâm của đa giác đáy
Các cạnh bên bằng nhau	tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
Các mặt bên nghiêng đều trên đáy	tâm đường tròn nội tiếp đáy
Một mặt bên vuông góc đáy	thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy
Hai mặt bên cùng vuông góc đáy	thuộc giao tuyến của hai mặt bên đó (đường cao là cạnh bên chung)
Đề cho "hình chiếu là trung điểm, trọng tâm, ..."	đúng điểm đó

Sau khi có $H$: $SH \perp (ABCD)$, góc giữa $SA$ và đáy là $\widehat{SAH}$ (tam giác $SHA$ vuông tại $H$).

Nội dung	Kết quả
Hình chiếu của điểm	chân đường vuông góc hạ xuống $(P)$
Góc đường-mặt	góc giữa $d$ và hình chiếu $d'$; $0^\circ \le \cdot \le 90^\circ$
Công thức	$\sin(d,(P)) = \dfrac{d(M,(P))}{MO}$, $\tan = \dfrac{MH}{OH}$
Chân đường cao	chóp đều: tâm; mặt bên $\perp$ đáy: trên giao tuyến
Lăng trụ xiên	góc cạnh bên với đáy là $\widehat{A'AH}$