Giao điểm, ba điểm thẳng hàng, ba đường đồng quy

Ngoài chuẩn tối thiểu của lớp 11. Cho tứ diện $ABCD$ (hoặc bốn điểm không đồng phẳng). Một mặt phẳng cắt bốn cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ tại $M$, $N$, $P$, $Q$ thì

$$\frac{AM}{MB}\cdot\frac{BN}{NC}\cdot\frac{CP}{PD}\cdot\frac{DQ}{QA} = 1.$$

Chứng minh. Gọi $d_A$, $d_B$, $d_C$, $d_D$ là khoảng cách từ $A$, $B$, $C$, $D$ đến mặt phẳng cắt. Hai tam giác vuông đồng dạng cho $\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{d_A}{d_B}$, và tương tự $\dfrac{BN}{NC} = \dfrac{d_B}{d_C}$, $\dfrac{CP}{PD} = \dfrac{d_C}{d_D}$, $\dfrac{DQ}{QA} = \dfrac{d_D}{d_A}$. Nhân bốn tỉ số, các $d$ triệt tiêu và còn $1$. $\blacksquare$

Chiều đảo. Nếu $M, N, P, Q$ nằm trên bốn cạnh và tích tỉ số bằng $1$ thì bốn điểm đồng phẳng. Khi một điểm nằm ngoài đoạn thì dùng tỉ số có hướng (có dấu); tích bằng $+1$ khi bốn điểm đồng phẳng.

Cách dùng.

1. Viết bốn tỉ số theo vòng $A \to B \to C \to D \to A$, cùng chiều.
2. Thay ba tỉ số đã cho, giải tỉ số còn lại.
3. Muốn chứng minh bốn điểm đồng phẳng, chỉ cần kiểm tích bằng $1$.

Ví dụ A. $\dfrac{AM}{MB} = 2$, $\dfrac{BN}{NC} = 3$, $\dfrac{CP}{PD} = \dfrac12$. Khi đó $\dfrac{DQ}{QA} = \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot \dfrac12} = \dfrac13$.

Ví dụ B. $\dfrac{AM}{MB} = 1$, $\dfrac{BN}{NC} = 2$, $\dfrac{CP}{PD} = 3$ cho $\dfrac{DQ}{QA} = \dfrac16$.

Ví dụ C (tỉ số có dấu). Nếu $M$ nằm ngoài đoạn $AB$ sao cho $\dfrac{AM}{MB} = -\dfrac23$, còn $\dfrac{BN}{NC} = 1$, $\dfrac{CP}{PD} = 1$ thì $\dfrac{DQ}{QA} = -\dfrac32$, nghĩa là $Q$ cũng nằm ngoài đoạn $DA$.

Các số trong ba ví dụ đã kiểm bằng toạ độ trên một tứ diện bất kì: bốn điểm $M, N, P, Q$ tính được luôn đồng phẳng.