Vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian được định nghĩa y như trong mặt phẳng: đoạn thẳng có hướng, có độ dài; hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng, cùng độ dài; $\vec 0$ có điểm đầu trùng điểm cuối. Phép cộng, trừ, nhân với số cũng giống hệt; mọi quy tắc đã biết vẫn đúng.

• Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$; $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ với $O$ tuỳ ý.
• Quy tắc hình bình hành: $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$.
• Trung điểm $M$ của $AB$: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OM}$ với $O$ tuỳ ý.

Nhớ: ba cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh cộng lại cho đường chéo hộp xuất phát từ đỉnh đó. Chứng minh: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ (hình bình hành $ABCD$), rồi $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ (hình bình hành $ACC'A'$).

Trong hình hộp, các cạnh song song bằng nhau là các vectơ bằng nhau: $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{DD'}$, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{A'B'}$, $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B'C'}$.

• Tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec 0$; với $O$ tuỳ ý, $\overrightarrow{OG} = \dfrac13(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$.
• Tứ diện $ABCD$: trọng tâm $G$ là điểm thoả $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec 0$, hay với $O$ tuỳ ý $\overrightarrow{OG} = \tfrac14\left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}\right).$ Gọi $M$, $N$ là trung điểm $AB$, $CD$ thì $G$ là trung điểm của $MN$ (và của hai đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối còn lại); $G$ cũng chia mỗi đoạn nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện theo tỉ số $3:1$ kể từ đỉnh.

Ba vectơ $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ (khác $\vec 0$) là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng (lấy chung một điểm đầu thì ba vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng).

Nếu $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ không đồng phẳng thì mọi vectơ $\vec d$ trong không gian đều viết được duy nhất dạng $\vec d = x\vec a + y\vec b + z\vec c$ (phân tích theo ba vectơ không đồng phẳng). Ví dụ trong hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$, ba vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AA'}$ không đồng phẳng.

Góc giữa hai vectơ $\vec u$, $\vec v$ khác $\vec 0$ trong không gian: lấy chung điểm đầu $O$, $\overrightarrow{OA} = \vec u$, $\overrightarrow{OB} = \vec v$, góc $\widehat{AOB}$ (từ $0^\circ$ đến $180^\circ$), kí hiệu $(\vec u, \vec v)$. Hai vectơ chung gốc luôn nằm trong một mặt phẳng, nên mọi công thức của lớp 10 giữ nguyên: