Tỉ số thể tích và cực trị thể tích, khoảng cách

(Nhiều tài liệu gọi đây là công thức Simson cho tứ diện.) Lí do: gọi $h$, $h'$ là khoảng cách từ $A$, $A'$ đến $(SBC)$; theo quy tắc tỉ số $\dfrac{h'}{h} = \dfrac{SA'}{SA}$. Hai tam giác $SB'C'$ và $SBC$ chung góc $S$ nên $\dfrac{S_{SB'C'}}{S_{SBC}} = \dfrac{SB'}{SB}\cdot\dfrac{SC'}{SC}$. Nhân hai tỉ số, nhớ $V = \dfrac13 S h$.

• Lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có thể tích $V$: $V_{A'.ABC} = \dfrac V3$ và $V_{A'.BCC'B'} = \dfrac{2V}{3}$.
• Hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có thể tích $V$: $V_{A'.ABD} = \dfrac V6$; tứ diện $ACB'D'$ có thể tích $\dfrac V3$ (hình hộp trừ bốn tứ diện góc, mỗi tứ diện $\dfrac V6$).
• Hình chóp bị mặt phẳng song song với đáy cắt: phần chóp nhỏ (chứa đỉnh) có thể tích $k^3 V$, phần còn lại $(1 - k^3)V$, với $k$ là tỉ số $\dfrac{SA'}{SA}$.
• Tứ diện vuông $OABC$ ($OA = a$, $OB = b$, $OC = c$ đôi một vuông góc): $V = \dfrac{abc}{6}$.
• Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành: mỗi tứ diện $S.ABC$, $S.BCD$, $S.CDA$, $S.DAB$ có thể tích $\dfrac V2$.

• AM-GM: với $u, v, w \ge 0$: $\dfrac{u+v+w}{3} \ge \sqrt[3]{uvw}$, dấu bằng khi $u = v = w$. Nhóm các thừa số sao cho tổng không đổi.
• Đạo hàm: $V(x)$ khả vi trên khoảng, giải $V'(x) = 0$, xét dấu $V'$ để kết luận cực đại.
• Luôn tìm miền của biến (hình phải tồn tại) và kiểm tra giá trị tìm được thuộc miền.

• Cực trị: kết quả phải nêu cả giá trị lớn nhất lẫn vị trí (khi nào dấu bằng xảy ra).