Góc nhị diện. Hai mặt phẳng vuông góc

Hình gồm hai nửa mặt phẳng $(P_1)$, $(P_2)$ có chung bờ là đường thẳng $d$ gọi là góc nhị diện (cạnh $d$, hai mặt $(P_1)$, $(P_2)$). Lấy điểm $A$ thuộc $(P_1)$ và $B$ thuộc $(P_2)$ (không thuộc $d$), kí hiệu góc nhị diện là $[A, d, B]$.

Góc phẳng nhị diện. Lấy $O \in d$, trong $(P_1)$ dựng $Ox \perp d$, trong $(P_2)$ dựng $Oy \perp d$. Góc $\widehat{xOy}$ gọi là góc phẳng của nhị diện; số đo của góc nhị diện bằng số đo góc phẳng (từ $0^\circ$ đến $180^\circ$) và không phụ thuộc vị trí $O$ trên $d$.

Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến $d$ tạo ra bốn góc nhị diện (hai cặp bằng nhau, bù nhau). Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$, $(Q)$ là số đo của góc nhị diện không tù trong số đó, kí hiệu $((P), (Q))$:

Phân biệt: góc nhị diện có thể tù (đến $180^\circ$); góc giữa hai mặt phẳng thì không.

Hai mặt phẳng vuông góc nếu góc giữa chúng bằng $90^\circ$ (một góc nhị diện bằng $90^\circ$), kí hiệu $(P) \perp (Q)$.

Khối thường gặp: hình lăng trụ đứng có cạnh bên vuông góc đáy (các mặt bên vuông góc đáy, đều là hình chữ nhật); hình hộp chữ nhật: mọi cặp mặt kề nhau vuông góc; hình lập phương: hộp chữ nhật có ba kích thước bằng nhau.

Đa giác phẳng có diện tích $S$ nằm trong $(P)$; hình chiếu vuông góc của nó trên $(Q)$ có diện tích $S'$; $\varphi$ là góc giữa $(P)$ và $(Q)$. Khi đó

Giải thích với tam giác $ABC$ có cạnh $BC$ nằm trên giao tuyến $d$: gọi $AH \perp d$ ($H \in d$), hình chiếu $A'$ của $A$ trên $(Q)$ cho $A'H \perp d$ (định lí ba đường vuông góc) và $\widehat{AHA'} = \varphi$ nên $A'H = AH\cos\varphi$; cùng đáy $BC$ nên $S' = S\cos\varphi$. Mọi đa giác chia được thành các tam giác như vậy (và cạnh nào song song giao tuyến cũng cho kết quả tương tự).

Nội dung	Kết quả
Góc phẳng nhị diện	hai tia cùng gốc trên giao tuyến, mỗi tia nằm trong một mặt và vuông góc giao tuyến
Góc giữa hai mặt	nhị diện không tù, thuộc $[0^\circ; 90^\circ]$
Vuông góc	$(P) \supset a \perp (Q)$ thì $(P) \perp (Q)$
Tính chất	trong $(P) \perp (Q)$, đường thuộc $(P)$ vuông góc giao tuyến thì vuông góc $(Q)$
Diện tích hình chiếu	$S' = S\cos\varphi$
Mặt bên nghiêng đều $\varphi$	$S_{xq} = \dfrac{S_{\text{đáy}}}{\cos\varphi}$