Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho điểm $M$ và mặt phẳng $(P)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(P)$ (tức $MH \perp (P)$, $H \in (P)$). Độ dài $MH$ là khoảng cách từ $M$ đến $(P)$, kí hiệu $d(M, (P))$. Nếu $M \in (P)$ thì $d(M, (P)) = 0$.

Với mọi điểm $K \in (P)$, tam giác $MHK$ vuông tại $H$ nên $MK^2 = MH^2 + HK^2 \ge MH^2$. Vậy $MH$ là đoạn ngắn nhất nối $M$ với một điểm của $(P)$.

• Nếu $a \parallel (P)$ thì mọi điểm của $a$ cách $(P)$ một khoảng như nhau. Khoảng đó là khoảng cách giữa $a$ và $(P)$: $d(a, (P)) = d(M, (P))$ với $M$ là điểm tuỳ ý của $a$.
• Nếu $(P) \parallel (Q)$ thì $d((P), (Q)) = d(M, (Q))$ với $M$ là điểm tuỳ ý của $(P)$.
• Hình hộp, lăng trụ: khoảng cách giữa hai mặt đáy là chiều cao của khối.

Đây là cách dựng chủ lực. Trong hình chóp $S.ABCD$ có $SA \perp (ABCD)$, các mặt phẳng chứa $SA$ đều vuông góc với đáy; ngược lại, nếu $BC \perp (SAB)$ thì $(SBC) \perp (SAB)$ theo giao tuyến $SB$, nên từ $A$ hạ $AH \perp SB$ sẽ có $AH \perp (SBC)$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$:

$$\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2}, \qquad AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}.$$

Từ đó, với tứ diện vuông $OABC$ ($OA$, $OB$, $OC$ đôi một vuông góc), khoảng cách từ $O$ đến $(ABC)$ thoả

$$\frac{1}{d^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2}.$$

Lí do: kẻ $OK \perp BC$ ($K \in BC$), rồi $OH \perp AK$. Khi đó $OH \perp (ABC)$; áp dụng hệ thức trên cho tam giác $OBC$ rồi tam giác $OAK$.

Nội dung	Kết quả cần nhớ
$d(M, (P))$	Độ dài đoạn vuông góc $MH$, $H$ là hình chiếu của $M$
$d(a, (P))$ với $a \parallel (P)$	$d(M, (P))$, $M \in a$ tuỳ ý
$d((Q), (P))$ với $(Q) \parallel (P)$	$d(M, (P))$, $M \in (Q)$ tuỳ ý
Mặt phẳng phụ	$(Q) \perp (P)$ theo giao tuyến $\Delta$; hạ $MH \perp \Delta$
Tam giác vuông	$\dfrac1{h^2} = \dfrac1{p^2} + \dfrac1{q^2}$
Tứ diện vuông	$\dfrac1{d^2} = \dfrac1{OA^2} + \dfrac1{OB^2} + \dfrac1{OC^2}$

• Bước đầu tiên luôn là chọn điểm dễ nhất, rồi mới dựng hình chiếu.