Ví dụ · Thể tích khối chóp, lăng trụ, chóp cụt · Toán 11

Ví dụ 1 (chóp có đường cao)

Hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$ , tam giác $ABC$ vuông tại $B$ , $AB = 3$ , $BC = 4$ , $SA = 5$ . Tính thể tích.

Giải. $S_{ABC} = \dfrac12 \cdot 3 \cdot 4 = 6$ , $V = \dfrac13 \cdot 6 \cdot 5 = 10$ .

Ví dụ 2 (bài toán thực tế)

Một kim tự tháp có đáy là hình vuông cạnh $230$ m, cao $147$ m. Tính thể tích khối đá (coi là khối chóp đều đặc).

Giải. $V = \dfrac13 \cdot 230^2 \cdot 147 = \dfrac13 \cdot 52\,900 \cdot 147 = 2\,592\,100$ (m $^3$ ).

Ví dụ 3 (tìm đường cao nhờ góc)

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB = a$ , $AD = a\sqrt2$ , $SA \perp (ABCD)$ và $SC$ tạo với đáy góc $60^\circ$ . Tính $V$ .

Giải. Hình chiếu của $SC$ lên đáy là $AC$ , nên góc $\widehat{SCA} = 60^\circ$ . $AC = \sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt3$ , do đó $SA = AC\tan 60^\circ = 3a$ . $S_{ABCD} = a \cdot a\sqrt2 = a^2\sqrt2$ và

V = \frac13 \cdot a^2\sqrt2 \cdot 3a = \sqrt2\,a^3.

Ví dụ 4 (chóp đều)

a) Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $2a$ và cạnh bên $a\sqrt3$ . Tính $V$ .

b) Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a$ , mặt bên hợp với đáy góc $60^\circ$ . Tính $V$ .

Câu a: OA = a√2 khi cạnh đáy là 2a. Câu b: góc phẳng nhị diện SIO = 60° và OI = a/2.

Giải.

a) Đường chéo đáy bằng $2a\sqrt2$ , nên $OA = a\sqrt2$ và $SO = \sqrt{3a^2 - 2a^2} = a$ . Diện tích đáy $4a^2$ :

V = \frac13 \cdot 4a^2 \cdot a = \frac{4a^3}{3}.

b) Gọi $I$ là trung điểm $CD$ . $OI \perp CD$ và $SI \perp CD$ nên góc phẳng nhị diện là $\widehat{SIO} = 60^\circ$ . Với $OI = \dfrac a2$ : $SO = OI\tan 60^\circ = \dfrac{a\sqrt3}{2}$ và

V = \frac13 \cdot a^2 \cdot \frac{a\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3\,a^3}{6}.

Ví dụ 5 (mặt bên vuông góc đáy)

a) Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , tam giác $SAB$ đều và $(SAB) \perp (ABCD)$ . Tính $V$ .

b) Hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $2a$ , hai mặt bên $(SAB)$ và $(SAC)$ cùng vuông góc với đáy, $SB$ hợp với đáy góc $45^\circ$ . Tính $V$ .

Tam giác SAB đều cạnh a nên SH = a√3/2, và SH vuông góc đáy vì (SAB) vuông góc (ABCD) theo giao tuyến AB.

Giải.

a) Gọi $H$ là trung điểm $AB$ . $SH \perp AB$ (tam giác đều) và $(SAB) \perp (ABCD)$ theo giao tuyến $AB$ , nên $SH \perp (ABCD)$ . $SH = \dfrac{a\sqrt3}{2}$ , do đó

V = \frac13 a^2 \cdot \frac{a\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3\,a^3}{6}.

b) Hai mặt phẳng $(SAB)$ , $(SAC)$ cùng vuông góc với $(ABC)$ và cắt nhau theo $SA$ , nên $SA \perp (ABC)$ . Hình chiếu của $SB$ lên đáy là $AB$ , nên $\widehat{SBA} = 45^\circ$ và $SA = AB = 2a$ . Diện tích đáy $\dfrac{(2a)^2\sqrt3}{4} = a^2\sqrt3$ :

V = \frac13 \cdot a^2\sqrt3 \cdot 2a = \frac{2\sqrt3\,a^3}{3}.

Ví dụ 6 (lăng trụ đứng)

Lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ vuông cân tại $A$ , $AB = a$ , và $A'B$ hợp với mặt đáy góc $60^\circ$ . Tính $V$ .

Giải. Hình chiếu của $A'B$ lên $(ABC)$ là $AB$ , nên $\widehat{A'BA} = 60^\circ$ và $AA' = AB\tan 60^\circ = a\sqrt3$ . $S_{ABC} = \dfrac{a^2}{2}$ , vậy $V = \dfrac{a^2}{2} \cdot a\sqrt3 = \dfrac{\sqrt3\,a^3}{2}$ .

Hình hộp chữ nhật: $3 \times 4 \times 5$ có $V = 60$ và đường chéo $\sqrt{9 + 16 + 25} = 5\sqrt2$ .

Ví dụ 7 (lăng trụ xiên)

Lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ , hình chiếu của $A'$ lên $(ABC)$ trùng với tâm $O$ của tam giác, $AA' = a$ . Tính $V$ và $V_{A'.ABC}$ .

Chiều cao của lăng trụ là A'O = a√6/3, không phải cạnh bên AA' = a.

Giải. $OA = \dfrac{a}{\sqrt3}$ và $A'O \perp (ABC)$ nên $A'O = \sqrt{a^2 - \dfrac{a^2}{3}} = \dfrac{a\sqrt6}{3}$ . Khoảng cách giữa hai đáy là $A'O$ (không phải $AA'$ ). $S_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$ :

V = \frac{a^2\sqrt3}{4} \cdot \frac{a\sqrt6}{3} = \frac{\sqrt2\,a^3}{4}, \qquad V_{A'.ABC} = \frac13 V = \frac{\sqrt2\,a^3}{12}.

Ví dụ 8 (chóp cụt đều)

Khối chóp cụt tứ giác đều có đáy lớn cạnh $4$ , đáy nhỏ cạnh $2$ , và cạnh bên $\sqrt6$ . Tính $V$ .

Thiết diện qua trục AA'C'C tô xanh; cạnh bên AA' = √6, trục OO' = h.

Giải. Nửa đường chéo đáy lớn $R = 2\sqrt2$ , đáy nhỏ $R' = \sqrt2$ . Trong thiết diện qua trục, $h^2 = \ell^2 - (R - R')^2 = 6 - 2 = 4$ , nên $h = 2$ . Với $S = 16$ , $S' = 4$ , $\sqrt{SS'} = 8$ :

V = \frac23(16 + 8 + 4) = \frac{56}{3}.

Nếu cho $h = 3$ và đáy $2$ , $4$ : $V = \dfrac33(4 + 8 + 16) = 28$ .

Ví dụ 9 (chóp cụt tam giác đều, kiểm bằng hiệu thể tích)

Chóp cụt tam giác đều có hai đáy là tam giác đều cạnh $6$ và $3$ , chiều cao $2$ . Tính $V$ bằng hai cách.

Giải. $S = \dfrac{36\sqrt3}{4} = 9\sqrt3$ , $S' = \dfrac{9\sqrt3}{4}$ , $\sqrt{SS'} = \dfrac{9\sqrt3}{2}$ .

Công thức: $V = \dfrac23\left(9\sqrt3 + \dfrac{9\sqrt3}{2} + \dfrac{9\sqrt3}{4}\right) = \dfrac23 \cdot \dfrac{63\sqrt3}{4} = \dfrac{21\sqrt3}{2}$ .
Hiệu: $k = \dfrac12$ nên chóp đầy đủ có chiều cao $2h = 4$ . $V_{\text{lớn}} = \dfrac13 \cdot 9\sqrt3 \cdot 4 = 12\sqrt3$ , $V_{\text{nhỏ}} = k^3 V_{\text{lớn}} = \dfrac{3\sqrt3}{2}$ . Hiệu: $12\sqrt3 - \dfrac{3\sqrt3}{2} = \dfrac{21\sqrt3}{2}$ . Hai cách trùng nhau.

Ví dụ 10 (khoảng cách bằng thể tích)

Hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$ , tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ với $AB = AC = a$ và $SA = a$ . Tính $d(A, (SBC))$ .

Giải. $V_{S.ABC} = \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot a = \dfrac{a^3}{6}$ . Gọi $M$ là trung điểm $BC$ : $SM = \sqrt{a^2 + \dfrac{a^2}{2}} = \dfrac{a\sqrt6}{2}$ , $BC = a\sqrt2$ , nên $S_{SBC} = \dfrac12 \cdot a\sqrt2 \cdot \dfrac{a\sqrt6}{2} = \dfrac{a^2\sqrt3}{2}$ . Do đó

d(A, (SBC)) = \frac{3V}{S_{SBC}} = \frac{a^3/2}{a^2\sqrt3/2} = \frac{a\sqrt3}{3}.

Cùng cách này, với $S.ABCD$ có đáy vuông cạnh $a$ , $SA \perp$ đáy, $SA = a$ : $V_{C.SBD} = V_{S.BCD} = \dfrac{a^3}{6}$ và $S_{SBD} = \dfrac{a^2\sqrt3}{2}$ , nên $d(C, (SBD)) = \dfrac{a\sqrt3}{3}$ .

Thể tích khối chóp, lăng trụ và chóp cụt đều

01Ví dụ minh hoạ