Tỉ số thể tích và cực trị thể tích, khoảng cách

1. Xác định các khối cần so sánh và đỉnh chung $S$, hai khối đều là tứ diện (nếu không, chia thành tứ diện).
2. Ghi các tỉ số trên cạnh: $\dfrac{SA'}{SA}$, $\dfrac{SB'}{SB}$, $\dfrac{SC'}{SC}$. Cẩn thận: tỉ số lấy từ đỉnh chung.
3. Nhân ba tỉ số; hoặc dùng các tỉ số có sẵn ở mục 2.
4. Khối còn lại: lấy tổng trừ phần đã tính. Tỉ số hai phần: $\dfrac{V_1}{V - V_1}$.

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành; mặt phẳng cắt $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ lần lượt tại $A'$, $B'$, $C'$, $D'$. Đặt $a = \dfrac{SA'}{SA}$, $b = \dfrac{SB'}{SB}$, $c = \dfrac{SC'}{SC}$, $d = \dfrac{SD'}{SD}$.

1. Chia tứ giác $A'B'C'D'$ bằng đường chéo $A'C'$: $V' = V_{S.A'B'C'} + V_{S.A'C'D'}$. Với $V_{S.ABC} = V_{S.ACD} = \dfrac V2$ ta được $\dfrac{V'}{V} = \dfrac{ac(b + d)}{2}$.
2. Chia bằng đường chéo $B'D'$: $\dfrac{V'}{V} = \dfrac{bd(a + c)}{2}$.
3. Hai biểu thức bằng nhau, suy ra điều kiện để bốn điểm đồng phẳng:

4. Biết ba tỉ số, tìm tỉ số thứ tư từ điều kiện, rồi thay vào $\dfrac{V'}{V}$.

1. Chọn biến $x$ (một độ dài, một góc hoặc chiều cao) và tìm miền để hình tồn tại.
2. Viết thể tích hay khoảng cách thành hàm một biến $f(x)$ (hoặc biểu thức nhiều biến có tổng cố định).
3. Tối ưu: AM-GM (chỉ khi tổng hoặc tích các nhóm không đổi và dấu bằng đạt được) hoặc đạo hàm.
4. Kiểm giá trị tìm được thuộc miền; tính giá trị cực trị; nêu khi nào dấu bằng xảy ra.