Đường thẳng song song với mặt phẳng

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. $M$, $N$ là trung điểm của $SA$, $SB$. Chứng minh: a) $MN \parallel (ABCD)$; b) $MN \parallel (SCD)$; c) $OM \parallel (SCD)$ và $OM \parallel (SBC)$.

Giải. a) Trong tam giác $SAB$, $MN$ là đường trung bình nên $MN \parallel AB$. Mà $AB \subset (ABCD)$ và $MN \not\subset (ABCD)$ (vì $M \notin (ABCD)$), nên $MN \parallel (ABCD)$.

b) $AB \parallel CD$ (đáy hình bình hành) nên $MN \parallel CD$ (bắc cầu). $CD \subset (SCD)$ và $MN \not\subset (SCD)$ (vì $M \in SA$, $M \neq S$, mà $SA$ cắt $(SCD)$ chỉ tại $S$), suy ra $MN \parallel (SCD)$.

c) $O$ là trung điểm $AC$, $M$ là trung điểm $SA$, nên $OM$ là đường trung bình của tam giác $ASC$: $OM \parallel SC$, $OM = \dfrac12 SC$. Vì $SC \subset (SBC)$ và $SC \subset (SCD)$, còn $O \notin (SBC)$, $O \notin (SCD)$ (mặt đáy cắt hai mặt này theo $BC$ và $CD$, mà $O$ không nằm trên hai đường ấy), nên $OM \not\subset$ hai mặt phẳng đó. Do đó $OM \parallel (SBC)$ và $OM \parallel (SCD)$.

Toạ độ ($A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(5;3;0)$, $D(1;3;0)$, $S(2;1;6)$) xác nhận mọi quan hệ: vectơ chỉ phương của $MN$ vuông góc với vectơ pháp tuyến của $(ABCD)$ và $(SCD)$, và $OM = \dfrac12 SC$.

Hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh $BC' \parallel (ADD'A')$ và $A'C' \parallel (ABCD)$.

Giải. Tứ giác $ABC'D'$ là hình bình hành: $AB \parallel A'B' \parallel D'C'$ và $AB = A'B' = D'C'$ (các mặt của hình hộp đều là hình bình hành). Suy ra $BC' \parallel AD'$. Mà $AD' \subset (ADD'A')$ và $B \notin (ADD'A')$, nên $BC' \parallel (ADD'A')$.

Với $A'C'$: $AA'C'C$ là hình bình hành (hai cạnh $AA'$ và $CC'$ song song và bằng nhau) nên $A'C' \parallel AC$. $AC \subset (ABCD)$ và $A' \notin (ABCD)$ nên $A'C' \parallel (ABCD)$.

Với hình lập phương cạnh $1$ ($A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $A'(0;0;1)$): $\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{AD'} = (0;1;1)$, vuông góc với pháp tuyến $(1;0;0)$ của $(ADD'A')$. Một hình hộp xiên tổng quát tính bằng toạ độ cũng cho cùng kết quả.

Hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. $M \in SC$ với $SM = \dfrac34 SC$. Mặt phẳng $(ADM)$ cắt $SB$ tại $N$. Chứng minh $MN \parallel BC$ và tính tỉ số $\dfrac{MN}{BC}$.

Giải. $AD \parallel BC$ và $BC \subset (SBC)$, $AD \not\subset (SBC)$ nên $AD \parallel (SBC)$. Mặt phẳng $(ADM)$ chứa $AD$ và cắt $(SBC)$ theo $MN$ ($M$ và $N$ đều thuộc cả hai mặt phẳng). Theo Định lí 2, $MN \parallel AD$, do đó $MN \parallel BC$.

Trong tam giác $SBC$, $MN \parallel BC$ nên $\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{SM}{SC} = \dfrac34$, đồng thời $\dfrac{SN}{SB} = \dfrac34$. Thiết diện $ADMN$ là hình thang ($MN \parallel AD$). Với đáy $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(5;3;0)$, $D(1;3;0)$, $S(2;1;6)$: $BC = \sqrt{10}$ và $MN = \dfrac{3\sqrt{10}}{4}$.

Tứ diện $ABCD$ có $AC = 6$, $BD = 9$. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M \in AB$ với $AM = \dfrac13 AB$ và song song với $AC$, $BD$. Xác định thiết diện và tính chu vi.

Giải. Trong $(ABC)$ kẻ $MN \parallel AC$ ($N \in BC$); trong $(ABD)$ kẻ $MQ \parallel BD$ ($Q \in AD$); trong $(ACD)$ kẻ $QP \parallel AC$ ($P \in CD$). Khi đó $NP \parallel BD$ (vì $(\alpha)$ song song $BD$ và $(\alpha) \cap (BCD) = NP$). Thiết diện là hình bình hành $MNPQ$ với

$$\frac{MN}{AC} = \frac{BM}{BA} = \frac23 \Rightarrow MN = 4, \qquad \frac{MQ}{BD} = \frac{AM}{AB} = \frac13 \Rightarrow MQ = 3.$$

Chu vi $= 2(4 + 3) = 14$.