Phương pháp · Vectơ trong không gian · Toán 11

01Phương pháp giải theo dạng

Chọn ba vectơ cơ sở chung điểm đầu và không đồng phẳng (hình hộp: ba cạnh qua một đỉnh; tứ diện: ba cạnh qua một đỉnh).
Biểu diễn vectơ cần tìm bằng chuỗi quy tắc ba điểm đi theo các cạnh của hình; thay các vectơ bằng nhau (cạnh song song bằng nhau của hình hộp).
Điểm chia đoạn: $M$ thuộc $AB$ với $\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AB}$ , trung điểm $k = \dfrac12$ , trọng tâm dùng hệ thức $\overrightarrow{OG}$ ở trên.
Kiểm tra: dấu và chiều của từng vectơ (nhầm $\overrightarrow{AB}$ với $\overrightarrow{BA}$ là lỗi số một).

Chọn hai vectơ không cùng phương trong ba vectơ làm cơ sở, đặt tên $\vec a$ , $\vec b$ .
Biểu diễn vectơ còn lại qua các điểm trung gian, đưa về dạng $\vec c = m\vec a + n\vec b$ .
Chỉ ra $m$ , $n$ cụ thể thì kết luận đồng phẳng. Muốn chứng tỏ không đồng phẳng: giả sử $\vec c = m\vec a + n\vec b$ và dẫn tới vô lí, hoặc dùng ba cạnh qua một đỉnh của hình hộp.

Chọn ba vectơ cơ sở $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ chung gốc, đã biết độ dài và góc từng cặp; tính trước ba bình phương $\vec a^2,\vec b^2,\vec c^2$ và ba tích $\vec a\cdot\vec b$ , $\vec b\cdot\vec c$ , $\vec c\cdot\vec a$ .
Viết vectơ cần xét theo $\vec a,\vec b,\vec c$ .
Độ dài: bình phương và khai triển. Góc: dùng $\cos = \dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\lvert\vec u\rvert\,\lvert\vec v\rvert}$ . Vuông góc: tích vô hướng bằng $0$ .
Nhớ góc giữa hai đường thẳng lấy giá trị tuyệt đối của $\cos$ (xem bài 2); góc giữa hai vectơ thì không.

Lỗi	Vì sao sai	Cách tránh
Viết $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC}$	$\overrightarrow{AC}$ chỉ là đường chéo đáy	Đủ ba vectơ cạnh thì đến $C'$
Dùng quy tắc hình hộp với ba cạnh không chung đỉnh	Quy tắc cần ba vectơ cùng điểm đầu	Đổi sang vectơ bằng nhau có chung đỉnh
Nghĩ ba vectơ bất kì luôn đồng phẳng như hai vectơ	Chỉ hai vectơ bất kì mới luôn đồng phẳng	Kiểm tra bằng biểu diễn $\vec c = m\vec a + n\vec b$
Lấy góc $\widehat{ABC}$ làm góc giữa $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC}$	Hai vectơ chưa chung gốc	Đổi $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$
Cho $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec 0$ rồi chia cho $3$	Tứ diện có $4$ đỉnh, hệ số là $\dfrac14$	Trọng tâm tứ diện chia cho $4$