Thanh dẫn trong từ trường, cân bằng và chuyển động

Xung dòng điện rất ngắn, điện lượng $q=\int I\,dt$ qua thanh. Trong thời gian ấy trọng lực và lực căng bỏ qua được, xung của lực từ bằng độ biến thiên động lượng: $\int F\,dt=BL\int I\,dt=BLq=mv$. Sau đó bảo toàn cơ năng: $\tfrac12mv^2=mg\,l(1-\cos\alpha)$, trong đó $l$ là chiều dài dây treo.

Ví dụ. $m=10\,\text{g}$, $L=20\,\text{cm}$, $l=30\,\text{cm}$, $B=0{,}5\,\text{T}$, $q=0{,}1\,\text{C}$. $v=\dfrac{BLq}{m}=\dfrac{0{,}5\cdot0{,}2\cdot0{,}1}{0{,}01}=1\,\text{m/s}$; $\cos\alpha=1-\dfrac{v^2}{2gl}=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac56$, $\alpha\approx33{,}6^\circ$.

Xét hai trạng thái giới hạn của thanh trên mặt nghiêng góc $\alpha$, hệ số ma sát $\mu$, $\vec B$ thẳng đứng nên $F=BIL$ nằm ngang, đẩy thanh vào mặt dốc và $N=mg\cos\alpha+F\sin\alpha$:

• sắp trượt xuống: ma sát hướng lên dốc, $F(\cos\alpha+\mu\sin\alpha)=mg(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)$;
• sắp trượt lên: ma sát hướng xuống dốc, $F(\cos\alpha-\mu\sin\alpha)=mg(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)$.

Ví dụ. $m=100\,\text{g}$, $L=50\,\text{cm}$, $\alpha=30^\circ$, $\mu=0{,}2$, $B=0{,}4\,\text{T}$: $I_{\min}\approx1{,}69\,\text{A}$, $I_{\max}\approx4{,}39\,\text{A}$; thanh đứng yên khi $1{,}69\,\text{A}\le I\le4{,}39\,\text{A}$. Khi $\mu=0$ chỉ có một giá trị $I=\dfrac{mg\tan\alpha}{BL}\approx2{,}89\,\text{A}$.

Thanh $m=20\,\text{g}$, $L=25\,\text{cm}$ treo bằng hai dây, $I=2\,\text{A}$, muốn dây lệch $\alpha=30^\circ$ so với phương thẳng đứng bằng từ trường có hướng tự chọn. Trong tam giác lực ($P$ cố định, $T$ có phương cho trước), $F$ nhỏ nhất khi $\vec F\perp\vec T$: $F_{\min}=mg\sin\alpha=0{,}2\cdot0{,}5=0{,}1\,\text{N}$. $B_{\min}=\dfrac{F_{\min}}{IL}=\dfrac{0{,}1}{2\cdot0{,}25}=0{,}2\,\text{T}$ với $\vec B$ vuông góc thanh sao cho lực từ vuông góc dây treo. (Đừng lấy $F=mg\tan\alpha$: đó là khi $\vec F$ nằm ngang.)