Ví dụ · Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau · Toán 11

Ví dụ 1 (hai đường vuông góc, tứ diện vuông)

Tứ diện $OABC$ có $OA$ , $OB$ , $OC$ đôi một vuông góc và $OA = OB = OC = a$ . Tính $d(OA, BC)$ .

OA vuông góc (OBC); OM vuông góc BC và OM nằm trong (OBC) nên OM cũng vuông góc OA.

Giải. $OA \perp OB$ , $OA \perp OC$ nên $OA \perp (OBC)$ . Gọi $M$ là trung điểm $BC$ . Tam giác $OBC$ cân tại $O$ nên $OM \perp BC$ ; lại có $OM \subset (OBC)$ nên $OM \perp OA$ . Vậy $OM$ là đoạn vuông góc chung của $OA$ và $BC$ .

Tam giác $OBC$ vuông tại $O$ có $BC = a\sqrt2$ , $OM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền:

d(OA, BC) = OM = \frac{BC}{2} = \frac{a\sqrt2}{2}.

Ví dụ 2 (đưa về khoảng cách điểm – mặt phẳng)

Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Tính $d(AB', BC')$ .

Giải. $AB' \parallel DC'$ (hai cạnh đối của hình chữ nhật $ADC'B'$ ) và $DC' \subset (BDC')$ , nên $AB' \parallel (BDC')$ . Mặt khác $BC' \subset (BDC')$ . Do đó

d(AB', BC') = d(AB', (BDC')) = d(A, (BDC')).

Ở bài 1 ta đã biết $d(A, (BDC')) = \dfrac{a\sqrt3}{3}$ (qua mặt phẳng song song $(AB'D')$ và hệ thức tứ diện vuông). Vậy $d(AB', BC') = \dfrac{a\sqrt3}{3}$ .

Ví dụ 3 (hình chóp có đường cao: ba đường chéo nhau)

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $SA \perp (ABCD)$ , $SA = a$ . Tính (a) $d(BD, SC)$ , (b) $d(AC, SB)$ , (c) $d(SB, CD)$ .

OK là đoạn vuông góc chung của BD và SC; BE song song AC nên AC song song (SBE).

Giải.

(a) Gọi $O = AC \cap BD$ . $BD \perp AC$ và $BD \perp SA$ nên $BD \perp (SAC)$ . Trong $(SAC)$ kẻ $OK \perp SC$ thì $OK \perp BD$ (vì $BD \perp (SAC)$ ) và $OK \perp SC$ ; vậy $OK$ là đoạn vuông góc chung của $BD$ và $SC$ .

$AC = a\sqrt2$ , $SC = \sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt3$ , $OC = \dfrac{a\sqrt2}{2}$ . Hai tam giác vuông $OKC$ và $SAC$ có chung góc $C$ , nên

OK = OC \cdot \sin \widehat{SCA} = \frac{a\sqrt2}{2} \cdot \frac{SA}{SC} = \frac{a\sqrt2}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt3} = \frac{a\sqrt6}{6}.

(b) Gọi $E$ là điểm đối xứng của $D$ qua $A$ thì $ACBE$ là hình bình hành nên $BE \parallel AC$ . Do đó $AC \parallel (SBE)$ và

d(AC, SB) = d(AC, (SBE)) = d(A, (SBE)).

Tứ diện $A.SBE$ có $AS = AB = AE = a$ và ba cạnh này đôi một vuông góc. Theo hệ thức tứ diện vuông, $\dfrac1{d^2} = \dfrac3{a^2}$ , nên $d(AC, SB) = \dfrac{a\sqrt3}{3}$ .

(c) $CD \parallel AB$ nên $CD \parallel (SAB)$ và $SB \subset (SAB)$ . Vậy $d(SB, CD) = d(CD, (SAB)) = d(D, (SAB)) = DA = a$ , vì $DA \perp (SAB)$ .

Ví dụ 4 (chóp tam giác đều)

Hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy $a$ và chiều cao $SO = a$ ( $O$ là tâm tam giác $ABC$ ). Tính $d(SA, BC)$ .

BC vuông góc (SAM); MH vuông góc SA nên MH là đoạn vuông góc chung của SA và BC, MH = 3a/4.

Giải. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ . $AM \perp BC$ và $SO \perp BC$ (do $SO \perp (ABC)$ ) nên $BC \perp (SAM)$ . Trong $(SAM)$ kẻ $MH \perp SA$ thì $MH \perp BC$ , nên $MH$ là đoạn vuông góc chung của $SA$ và $BC$ .

Ta có $AM = \dfrac{a\sqrt3}{2}$ , $AO = \dfrac{a\sqrt3}{3}$ , $SA = \sqrt{a^2 + \dfrac{a^2}{3}} = \dfrac{2a}{\sqrt3}$ . Diện tích tam giác $SAM$ bằng $\dfrac12 \cdot AM \cdot SO = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$ . Vì $MH$ là đường cao ứng với đáy $SA$ :

MH = \frac{2 \cdot \frac{a^2\sqrt3}{4}}{\frac{2a}{\sqrt3}} = \frac{a^2\sqrt3}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2a} = \frac{3a}{4}.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

01Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 (hai đường vuông góc, tứ diện vuông)

Ví dụ 2 (đưa về khoảng cách điểm – mặt phẳng)

Ví dụ 3 (hình chóp có đường cao: ba đường chéo nhau)

Ví dụ 4 (chóp tam giác đều)