Tích vô hướng của hai vectơ

Hai vectơ cho ra một số

Mục tiêu

Xác định đúng góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng theo định nghĩa.
Dùng tích vô hướng để tính góc, tính độ dài, nhận biết hai vectơ vuông góc.
Tính tích vô hướng trong hình bằng cách phân tích theo hai vectơ đã biết; tính theo toạ độ; tính công của lực.

Khởi động

Kéo một chiếc vali bằng quai nghiêng: chỉ phần lực dọc theo mặt đường mới làm vali tiến lên, phần lực hướng lên trời thì "phí". Vật lí gọi phần có ích đó là công, và nó phụ thuộc vào độ lớn lực, quãng đường, và góc giữa chúng. Toán học gói ba thứ đó vào một phép tính duy nhất trên hai vectơ, cho ra một số: tích vô hướng.

01Kiến thức cần nhớ

1. Góc giữa hai vectơ

Cho $\vec a$ , $\vec b$ khác $\vec 0$ . Từ một điểm $O$ bất kì, đặt $\overrightarrow{OA} = \vec a$ , $\overrightarrow{OB} = \vec b$ . Góc $\widehat{AOB}$ (từ $0^\circ$ đến $180^\circ$ ) là góc giữa hai vectơ, kí hiệu $(\vec a, \vec b)$ .

Góc giữa AB và BC là góc giữa BA' và BC, bằng 180° − B (A' nằm trên tia AB, sau B).

$(\vec a, \vec b) = 0^\circ$ : cùng hướng; $= 180^\circ$ : ngược hướng; $= 90^\circ$ : vuông góc, viết $\vec a \perp \vec b$ .

Tương tácBẫy góc giữa AB và BC

B = 0^{\circ}

(A B, B C) = 0^{\circ}

B + (A B, B C) = 0^{\circ}

○ AB và BC chưa chung gốc: chưa đọc được góc

s (tịnh tiến AB) = 0

Kéo thanh trượt s từ 0 đến 1: vectơ AB tịnh tiến về điểm B. Góc giữa hai vectơ chỉ đọc được khi chung gốc, và bằng 180° trừ góc B.

2. Định nghĩa và hệ quả

$\vec a \perp \vec b \iff \vec a\cdot\vec b = 0$ .
Cùng hướng: $\vec a\cdot\vec b = \lvert\vec a\rvert\,\lvert\vec b\rvert$ ; ngược hướng: $\vec a\cdot\vec b = -\lvert\vec a\rvert\,\lvert\vec b\rvert$ .
Bình phương vô hướng: $\vec a^2 = \vec a\cdot\vec a = \lvert\vec a\rvert^2$ . Đặc biệt $\overrightarrow{AB}^2 = AB^2$ .
Tính góc: $\cos(\vec a, \vec b) = \dfrac{\vec a\cdot\vec b}{\lvert\vec a\rvert\,\lvert\vec b\rvert}$ .
Dấu của tích vô hướng cho biết góc nhọn (dương), vuông (bằng 0) hay tù (âm).

3. Tính chất

Với mọi $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ và số $k$ :

\vec a\cdot\vec b = \vec b\cdot\vec a, \qquad \vec a\cdot(\vec b + \vec c) = \vec a\cdot\vec b + \vec a\cdot\vec c, \qquad (k\vec a)\cdot\vec b = k(\vec a\cdot\vec b).

Từ đó có các "hằng đẳng thức" giống đại số:

(\vec a \pm \vec b)^2 = \vec a^2 \pm 2\vec a\cdot\vec b + \vec b^2, \qquad (\vec a + \vec b)\cdot(\vec a - \vec b) = \vec a^2 - \vec b^2.

4. Biểu thức toạ độ

Với $\vec a = (x_1; y_1)$ , $\vec b = (x_2; y_2)$ :

Tương tácHai cách tính tích vô hướng

a = (3; 1), b = (1; 2)

(a, b) = 4 5^{\circ}

∣ a ∣ ∣ b ∣ cos (a, b) = 5

x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 5

h ı ˋ nh chi e ˆ ˊ u của b l e ˆ n a : 1, 58

Kéo đầu mút của a và b: hai cách tính luôn khớp, và bằng 0 đúng lúc hai vectơ vuông góc.

5. Công của lực

Lực $\vec F$ không đổi làm vật dời theo vectơ $\vec d$ thì công sinh ra là $A = \vec F\cdot\vec d = \lvert\vec F\rvert\,\lvert\vec d\rvert\cos(\vec F, \vec d)$ (đơn vị J khi lực tính bằng N, quãng đường tính bằng m).

Tương tácCông của lực kéo vali

F cos α = 25 N

A = F d cos α = 50 \cdot 6 \cdot 0, 5 = 150 J

ph a ˆ ˋ n lực c o ˊ ı ˊ ch: 50%

○ Công dương

F (N) = 50 α (độ) = 60 d (m) = 6

Giữ F và d, đổi góc α: chỉ thành phần dọc đường (F cos α) sinh công. Thử α = 90° và α > 90°.

02Tóm tắt

Nội dung	Công thức
Định nghĩa	$\vec a\cdot\vec b = \lvert\vec a\rvert\,\lvert\vec b\rvert\cos(\vec a, \vec b)$
Vuông góc	$\vec a\cdot\vec b = 0$
Độ dài	$AB^2 = \overrightarrow{AB}^2$
Góc	$\cos(\vec a, \vec b) = \dfrac{\vec a\cdot\vec b}{\lvert\vec a\rvert\,\lvert\vec b\rvert}$
Toạ độ	$x_1x_2 + y_1y_2$ ; cùng phương $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$
Công	$A = F\,d\cos\alpha$

Luôn đưa hai vectơ về chung gốc trước khi đọc góc.

Tiếp theoPhương pháp →