Hai đường thẳng vuông góc

Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Tính góc giữa: a) $A'B$ và $AC$; b) $BD$ và $A'C$.

Giải.

a) $AC \parallel A'C'$, nên $(A'B, AC) = (A'B, A'C') = \widehat{BA'C'}$. Tam giác $A'BC'$ có $A'B = BC' = C'A' = a\sqrt2$ là tam giác đều, nên góc bằng $60^\circ$.

b) $BD \perp AC$ và $BD \perp AA'$ nên $BD \perp (ACC'A')$; đường $A'C$ nằm trong mặt phẳng này, do đó $BD \perp A'C$, góc bằng $90^\circ$ (lập luận chi tiết ở bài 3). Kiểm bằng vectơ: $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AA'}$, tích vô hướng $= \overrightarrow{AD}^2 - \overrightarrow{AB}^2 = 0$.

Hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB = SC = a$, $\widehat{ASB} = 90^\circ$, $\widehat{BSC} = 90^\circ$, $\widehat{CSA} = 60^\circ$. Tính góc giữa $AB$ và $SC$.

Giải. Đặt $\vec x = \overrightarrow{SA}$, $\vec y = \overrightarrow{SB}$, $\vec z = \overrightarrow{SC}$: $\vec x\cdot\vec y = 0$, $\vec y\cdot\vec z = 0$, $\vec z\cdot\vec x = \dfrac{a^2}2$.

$\overrightarrow{SC}\cdot\overrightarrow{AB} = \vec z\cdot(\vec y - \vec x) = 0 - \dfrac{a^2}2 = -\dfrac{a^2}2$. Lại có $AB = a\sqrt2$ (tam giác $SAB$ vuông cân). Do đó $\cos(AB, SC) = \dfrac{a^2/2}{a\sqrt2\cdot a} = \dfrac{\sqrt2}4 \;\Rightarrow\; (AB, SC) \approx 69{,}3^\circ.$ Tích vô hướng âm chỉ nói góc giữa hai vectơ là góc tù; góc giữa hai đường thẳng lấy giá trị tuyệt đối.

Tứ diện $ABCD$ có $AB = 2$, $AC = 3$, $AD = BD = \sqrt6$, $BC = \sqrt{13}$, $CD = 3$. Tính góc giữa mỗi cặp cạnh đối.

Giải. Bình phương: $AB^2 = 4$, $AC^2 = 9$, $AD^2 = 6$, $BC^2 = 13$, $BD^2 = 6$, $CD^2 = 9$.

• $(AB, CD)$: $T = (AD^2 + BC^2) - (AC^2 + BD^2) = 19 - 15 = 4$. $\cos = \dfrac{4}{2\cdot2\cdot3} = \dfrac13$, góc $\approx 70{,}5^\circ$.
• $(AC, BD)$: $T = (AB^2 + CD^2) - (AD^2 + BC^2) = 13 - 19 = -6$. $\cos = \dfrac{6}{2\cdot3\cdot\sqrt6} = \dfrac1{\sqrt6}$.
• $(AD, BC)$: $T = (AB^2 + CD^2) - (AC^2 + BD^2) = 13 - 15 = -2$. $\cos = \dfrac{2}{2\cdot\sqrt6\cdot\sqrt{13}} = \dfrac1{\sqrt{78}}$.

Cả ba kết quả đều thuộc $[0; 1]$, phù hợp.

Tứ diện $ABCD$ có $AB = 2$, $AC = BC = \sqrt5$, $AD = BD = \sqrt{10}$, $CD = \sqrt{13}$. Chứng minh $AB \perp CD$.

Giải. $AC^2 + BD^2 = 5 + 10 = 15$ và $AD^2 + BC^2 = 10 + 5 = 15$. Hai tổng bằng nhau nên $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} = 0$, tức $AB \perp CD$.

Hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a\sqrt3$. Tính góc giữa: a) $SB$ và $CD$; b) $SC$ và $AB$.

Giải.

a) $CD \parallel AB$, nên $(SB, CD) = (SB, AB) = \widehat{SBA}$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$: $\tan\widehat{SBA} = \dfrac{SA}{AB} = \sqrt3$, góc bằng $60^\circ$.

b) $AB \parallel CD$ nên $(SC, AB) = \widehat{SCD}$. Có $CD \perp AD$ và $CD \perp SA$, nên $CD \perp SD$ (tam giác $SCD$ vuông tại $D$). $SC^2 = SA^2 + AC^2 = 3a^2 + 2a^2 = 5a^2$. $\cos\widehat{SCD} = \dfrac{CD}{SC} = \dfrac{a}{a\sqrt5} = \dfrac1{\sqrt5}$, góc $\approx 63{,}4^\circ$.