Phương pháp · Góc nhị diện, hai mặt phẳng vuông góc · Toán 11

01Phương pháp giải theo dạng

Xác định giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng.
Dựng góc phẳng: chọn điểm $O \in d$ ; trong mỗi mặt phẳng dựng đường thẳng qua $O$ vuông góc $d$ . Cách thường dùng: từ một điểm $A$ của mặt này, hạ $AH \perp (\text{mặt kia})$ , rồi hạ $HO \perp d$ ; theo định lí ba đường vuông góc $AO \perp d$ , và $\widehat{AOH}$ là góc phẳng (tam giác $AHO$ vuông tại $H$ ).
Tính trong tam giác vuông ( $\tan = \dfrac{AH}{HO}$ ). Nếu không có tam giác vuông thuận tiện, tính góc $\widehat{xOy}$ bằng định lí côsin trong tam giác tạo bởi $O$ và hai điểm trên hai tia (như Ví dụ 4).
Phân biệt nhị diện với góc giữa hai mặt: nếu kết quả là góc tù thì góc giữa hai mặt phẳng là góc bù của nó.

Tìm đường thẳng $a \subset (P)$ và chứng minh $a \perp (Q)$ (dùng bài 3).
Kết luận $(P) \perp (Q)$ . Ghi rõ " $a \subset (P)$ ".
Cách khác: chỉ ra góc nhị diện bằng $90^\circ$ , hoặc hai đường vuông góc mặt tương ứng vuông góc nhau.
Muốn suy ra đường thẳng vuông góc mặt: dùng tính chất 1 ở mục 3 (đường trong mặt này vuông góc giao tuyến).

Chọn đa giác (thường là mặt bên hoặc tam giác nối ba đỉnh) nằm trong $(P)$ mà hình chiếu lên $(Q)$ dễ xác định (chiếu từng đỉnh).
Tính $S$ và $S'$ riêng, bằng công thức diện tích thông thường.
$\cos\varphi = \dfrac{S'}{S}$ ; hoặc biết $\varphi$ và $S'$ thì $S = \dfrac{S'}{\cos\varphi}$ .

Lỗi	Vì sao sai	Cách tránh
Dựng hai đường vuông góc giao tuyến tại hai điểm khác nhau	Không tạo thành góc phẳng nhị diện	Hai tia phải xuất phát cùng một điểm $O \in d$
Lấy $\widehat{SAB}$ hay góc ở mặt bên làm góc nhị diện	Đó là góc giữa hai đường, không vuông góc giao tuyến	Phải vuông góc với giao tuyến
Báo góc tù làm góc giữa hai mặt phẳng	Góc giữa hai mặt $\le 90^\circ$	Đổi sang góc bù
Viết $S' = S/\cos\varphi$	Hình chiếu luôn nhỏ hơn: $S' \le S$	$S' = S\cos\varphi$
Chiếu đa giác không vuông góc	Công thức chỉ đúng với phép chiếu vuông góc	Hạ từng đỉnh vuông góc xuống mặt phẳng
Kết luận $(P) \perp (Q)$ từ " $a \perp b$ với $a \subset (P)$ , $b \subset (Q)$ "	Hai đường lệch bất kì không đủ	Cần $a \subset (P)$ vuông góc cả mặt phẳng $(Q)$