Góc nhị diện. Hai mặt phẳng vuông góc

Hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $4$ và chiều cao $SO = 2\sqrt2$. Tính góc giữa mặt bên $(SCD)$ và đáy $(ABCD)$.

Giải. Giao tuyến là $CD$. Gọi $M$ là trung điểm $CD$: $OM \perp CD$ (tam giác $OCD$ cân) và $SM \perp CD$ (tam giác $SCD$ cân), nên $\widehat{SMO}$ là góc phẳng nhị diện $[S, CD, A]$. $OM = \dfrac{4}{2} = 2$, tam giác $SOM$ vuông tại $O$: $\tan\widehat{SMO} = \dfrac{SO}{OM} = \sqrt2$, tức $\cos = \dfrac1{\sqrt3}$, góc $\approx 54{,}7^\circ$.

Kiểm bằng diện tích: $SM = \sqrt{8 + 4} = 2\sqrt3$, $S_{SCD} = \dfrac12\cdot4\cdot2\sqrt3 = 4\sqrt3$; hình chiếu là tam giác $OCD$ có diện tích $\dfrac14\cdot16 = 4$; $\cos\varphi = \dfrac{4}{4\sqrt3} = \dfrac1{\sqrt3}$. Hai cách khớp nhau.

Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $2$. Tính góc phẳng nhị diện $[A', BD, A]$.

Giải. Giao tuyến là $BD$. Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$: $AO \perp BD$ và $A'O \perp BD$ ($BD \perp (ACC'A')$). Góc phẳng là $\widehat{A'OA}$, tam giác $A'AO$ vuông tại $A$ với $AO = \sqrt2$, $AA' = 2$: $\tan = \dfrac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$, góc $\approx 54{,}7^\circ$.

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB = 3$, $AD = 4$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = 4$. a) Tính góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$. b) Chứng minh $(SAB) \perp (SAD)$ và $(SAB) \perp (SBC)$.

Giải.

a) Giao tuyến là $BC$. $BC \perp AB$ và $BC \perp SA$ nên $BC \perp (SAB)$, do đó $BC \perp SB$. Vậy $\widehat{SBA}$ là góc phẳng nhị diện, $\tan\widehat{SBA} = \dfrac{SA}{AB} = \dfrac43$, $\cos = \dfrac35$, góc $\approx 53{,}1^\circ$.

b) $AB \perp AD$ và $AB \perp SA$ nên $AB \perp (SAD)$; $AB \subset (SAB)$ nên $(SAB) \perp (SAD)$. Cũng $BC \perp (SAB)$ ở trên và $BC \subset (SBC)$ nên $(SBC) \perp (SAB)$.

Hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $2$ và cạnh bên $2$. Tính số đo góc nhị diện $[A, SB, C]$ và góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$, $(SBC)$.

Giải. Các mặt bên là tam giác đều cạnh $2$. Gọi $H$ là trung điểm $SB$: $AH \perp SB$ và $CH \perp SB$, $AH = CH = \sqrt3$. Góc $\widehat{AHC}$ là góc phẳng nhị diện, $AC = 2\sqrt2$. Định lí côsin: $\cos\widehat{AHC} = \dfrac{3 + 3 - 8}{2\cdot\sqrt3\cdot\sqrt3} = -\dfrac13,$ nên nhị diện $\approx 109{,}5^\circ$ (tù). Góc giữa hai mặt phẳng là góc bù: $\cos = \dfrac13$, góc $\approx 70{,}5^\circ$.

Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $2$. Tính góc $\varphi$ giữa $(A'BD)$ và $(ABCD)$.

Giải. Tam giác $A'BD$ đều cạnh $A'B = 2\sqrt2$, diện tích $S = \dfrac{\sqrt3}4\cdot8 = 2\sqrt3$. Hình chiếu của nó trên $(ABCD)$ là tam giác $ABD$ ($A'\mapsto A$, $B$, $D$ giữ nguyên), diện tích $S' = 2$. Do đó $\cos\varphi = \dfrac{2}{2\sqrt3} = \dfrac1{\sqrt3}$. Kết quả trùng với Ví dụ 2: vì hai mặt phẳng $(A'BD)$ và $(ABCD)$ cắt nhau theo $BD$ nên góc phẳng nhị diện chính là $\widehat{A'OA}$.

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $6$ và các mặt bên đều tạo với đáy góc $60^\circ$ (chân đường cao là tâm $O$). Tính diện tích xung quanh.

Giải. Hình chiếu của bốn mặt bên trên đáy là bốn tam giác $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODA$, ghép lại đúng bằng hình vuông đáy. Mỗi mặt bên nghiêng $60^\circ$ so với đáy nên $S_{\text{đáy}} = S_{xq}\cos60^\circ$, trong đó $S_{xq}$ là tổng diện tích bốn mặt bên:

$S_{xq} = \dfrac{36}{\cos60^\circ} = 72.$ Kiểm: $SO = 3\tan60^\circ = 3\sqrt3$, đường cao mặt bên $SM = \sqrt{27 + 9} = 6$, mỗi mặt bên $\dfrac12\cdot6\cdot6 = 18$, bốn mặt $72$.