Vận tốc, gia tốc và đồ thị của dao động điều hoà

Vật dao động điều hoà với $x = 10\cos\!\left(\pi t - \dfrac{\pi}{3}\right)\,\text{cm}$. Tính li độ, vận tốc, gia tốc lúc $t = 1\,\text{s}$ và các giá trị cực đại của $v$ và $a$.

Giải. $\omega = \pi\,\text{rad/s}$. Pha lúc $t = 1\,\text{s}$: $\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$.

• $x = 10\cos\dfrac{2\pi}{3} = -5\,\text{cm}$.
• $v = -\omega A\sin\dfrac{2\pi}{3} = -10\pi\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} \approx -27{,}2\,\text{cm/s}$ (đang đi theo chiều âm).
• $a = -\omega^2 x = -\pi^2\cdot(-5) \approx 49{,}3\,\text{cm/s}^2$ (dương vì $x < 0$).
• $v_{\max} = \omega A = 10\pi \approx 31{,}4\,\text{cm/s}$; $a_{\max} = \omega^2 A = 10\pi^2 \approx 98{,}7\,\text{cm/s}^2$.

Một vật dao động điều hoà với tần số góc $10\,\text{rad/s}$. Khi vật ở li độ $6\,\text{cm}$ thì vận tốc có độ lớn $80\,\text{cm/s}$. Tính biên độ và tốc độ cực đại.

Giải. $A^2 = x^2 + \dfrac{v^2}{\omega^2} = 6^2 + \dfrac{80^2}{10^2} = 36 + 64 = 100$, nên $A = 10\,\text{cm}$. Tốc độ cực đại $v_{\max} = \omega A = 100\,\text{cm/s} = 1\,\text{m/s}$.

Một vật dao động điều hoà có tốc độ cực đại $40\,\text{cm/s}$ và độ lớn gia tốc cực đại $160\,\text{cm/s}^2$. Tìm $\omega$, $A$, $T$.

Giải. $\dfrac{a_{\max}}{v_{\max}} = \dfrac{\omega^2 A}{\omega A} = \omega = \dfrac{160}{40} = 4\,\text{rad/s}$. Rồi $A = \dfrac{v_{\max}}{\omega} = 10\,\text{cm}$ và $T = \dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57\,\text{s}$.

Vật dao động với biên độ $A = 4\,\text{cm}$, chu kì $T = 0{,}4\,\text{s}$. Tính tốc độ của vật khi li độ $x = \dfrac{A}{2}$.

Giải. $\omega = \dfrac{2\pi}{0{,}4} = 5\pi\,\text{rad/s}$, $v_{\max} = 20\pi \approx 62{,}8\,\text{cm/s}$. Từ $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ với $x = A/2$: $\lvert v\rvert = \omega A\sqrt{1 - \tfrac14} = v_{\max}\dfrac{\sqrt3}{2} \approx 54{,}4\,\text{cm/s}$.

Đồ thị li độ của một vật dao động điều hoà có giá trị nhỏ nhất $-4\,\text{cm}$, đạt lần đầu lúc $t = 0{,}2\,\text{s}$, và cắt trục thời gian đi lên (theo chiều dương) lần đầu lúc $t = 0{,}5\,\text{s}$. Viết phương trình dao động.

Giải.

• $A = 4\,\text{cm}$.
• Từ biên âm ($t = 0{,}2$) tới vị trí cân bằng ($t = 0{,}5$) mất $\dfrac{T}{4} = 0{,}3\,\text{s}$, nên $T = 1{,}2\,\text{s}$ và $\omega = \dfrac{2\pi}{1{,}2} = \dfrac{5\pi}{3}\,\text{rad/s}$.
• Lúc $t = 0{,}2\,\text{s}$ vật ở biên âm, pha $=\pi$: $\dfrac{5\pi}{3}\cdot 0{,}2 + \varphi = \pi$, suy ra $\varphi = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$.

Phương trình: $x = 4\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{3}t + \dfrac{2\pi}{3}\right)\,\text{cm}$.

Kiểm: $t = 0$: $x = 4\cos\dfrac{2\pi}{3} = -2\,\text{cm}$. Lúc $t = 0{,}5\,\text{s}$ pha là $\dfrac{5\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{3\pi}{2}$: $x = 0$ và $v = -\omega A\sin\dfrac{3\pi}{2} > 0$, đúng là đang đi lên.