Dao động điều hoà và phương trình li độ

Khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái dao động lặp lại gọi là chu kì $T$ (đơn vị giây, s). Số dao động toàn phần thực hiện trong một giây gọi là tần số $f$ (đơn vị héc, Hz):

trong đó $N$ là số dao động toàn phần thực hiện trong thời gian $t$. Một dao động toàn phần là một lượt đi và về đầy đủ, tức vật trở lại đúng trạng thái ban đầu (vị trí và chiều chuyển động).

Một hệ dao động tự do (còn gọi dao động riêng) khi sau lần kích thích ban đầu hệ tự dao động mà không có ngoại lực nào tác dụng thêm, tần số khi đó chỉ do chính hệ quyết định (khối lượng, độ cứng, chiều dài...). Chẳng hạn kéo quả nặng của con lắc lò xo ra rồi thả: đó là dao động tự do.

Tuần hoàn chưa chắc là điều hoà. Một quả bóng nảy đều trên sàn là tuần hoàn; li độ của một vật chạy đi chạy lại với tốc độ không đổi (đồ thị hình tam giác) cũng tuần hoàn, nhưng không điều hoà.

Li độ $x$ là độ lệch của vật so với vị trí cân bằng, có dấu: $x > 0$ khi vật ở phía chiều dương của trục, $x < 0$ khi ở phía kia. Ý nghĩa từng đại lượng:

Chiều dài quỹ đạo là $L = 2A$ (từ biên âm đến biên dương). Biên độ $A$ luôn dương; nếu đề cho "$x = -5\cos(\dots)$" thì biên độ vẫn là $5$ (xem mục sau).

Vì hàm côsin lặp lại sau mỗi $2\pi$ nên sau một chu kì pha tăng đúng $2\pi$:

Cho điểm $P$ chạy đều trên đường tròn tâm $O$ bán kính $A$ với tốc độ góc $\omega$, lúc $t = 0$ bán kính $OP$ hợp với trục $Ox$ góc $\varphi$. Lúc $t$ góc đó là $\omega t + \varphi$, nên hình chiếu của $P$ lên trục $Ox$ có toạ độ

$$x = A\cos(\omega t + \varphi).$$

Đó chính là phương trình dao động điều hoà. Cho nên:

• biên độ $A$ là bán kính đường tròn,
• tần số góc $\omega$ là tốc độ góc của $P$,
• pha $\omega t + \varphi$ là góc mà bán kính $OP$ hợp với trục $Ox$ (đo từ trục $Ox$, ngược chiều kim đồng hồ),
• một chu kì ứng với $P$ chạy một vòng.

Cách nhìn này là công cụ rất mạnh: hầu hết bài toán về thời gian, pha ban đầu và quãng đường ở các bài sau đều giải nhanh bằng đường tròn này (gọi là đường tròn lượng giác hay giản đồ vectơ quay).

Đề có thể cho $x = A\sin(\omega t + \varphi')$ hoặc $x = -A\cos(\omega t + \varphi')$. Để đọc pha ban đầu theo đúng quy ước ta đưa về dạng $A\cos(\omega t + \varphi)$ bằng hai hằng đẳng thức:

Từ đó $-\sin\theta = \cos\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$. Biên độ luôn là phần dương đứng trước hàm lượng giác.

Bài sau sẽ chứng minh: vận tốc $v$ sớm pha $\dfrac{\pi}{2}$ so với li độ, gia tốc $a$ ngược pha với li độ ($a = -\omega^2 x$). Ở bài này ta chỉ cần biết: vận tốc lớn nhất khi vật qua vị trí cân bằng, gia tốc (độ lớn) lớn nhất khi vật ở biên.