Năng lượng trong dao động điều hoà

Với con lắc lò xo ($x$ là li độ so với vị trí cân bằng, mặt ngang):

• Thế năng đàn hồi: $W_t = \dfrac12 kx^2$.
• Động năng: $W_đ = \dfrac12 mv^2$.
• Cơ năng: $W = W_đ + W_t$.

Thay $x = A\cos(\omega t + \varphi)$, $v = -\omega A\sin(\omega t + \varphi)$ và $k = m\omega^2$:

$$W_t = \frac12 kA^2\cos^2(\omega t + \varphi),\qquad W_đ = \frac12 m\omega^2A^2\sin^2(\omega t + \varphi) = \frac12 kA^2\sin^2(\omega t + \varphi).$$

Cộng lại, vì $\sin^2 + \cos^2 = 1$:

Cơ năng không đổi (bảo toàn) vì không có ma sát, chỉ lực đàn hồi (lực thế) thực hiện công. Nó tỉ lệ với bình phương biên độ: biên độ gấp đôi thì cơ năng gấp bốn.

Theo li độ: từ $W = W_t + W_đ$ ta có

$$W_t = \frac12 kx^2,\qquad W_đ = \frac12 k\,(A^2 - x^2).$$

Tại biên ($x = \pm A$): $W_t = W$, $W_đ = 0$. Tại vị trí cân bằng ($x = 0$): $W_t = 0$, $W_đ = W$.

Dùng $\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos2\theta}{2}$, $\cos^2\theta = \dfrac{1 + \cos2\theta}{2}$:

$$W_t = \frac{W}{2}\bigl[1 + \cos(2\omega t + 2\varphi)\bigr],\qquad W_đ = \frac{W}{2}\bigl[1 - \cos(2\omega t + 2\varphi)\bigr].$$

Suy ra:

• $W_đ$ và $W_t$ biến thiên điều hoà quanh giá trị trung bình $\dfrac{W}{2}$, với tần số góc $2\omega$, tức tần số $2f$ và chu kì $\dfrac{T}{2}$;
• hai đại lượng ngược pha: cái này tăng thì cái kia giảm, tổng luôn bằng $W$;
• giá trị trung bình của mỗi loại trong một chu kì là $\dfrac{W}{2}$;
• khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp $W_đ = W_t$ là $\dfrac{T}{4}$ (khi $\lvert x\rvert = \dfrac{A}{\sqrt2}$, ứng 4 điểm cách đều nhau $\dfrac{\pi}{2}$ trên đường tròn).

Vẽ theo $x$ (trục ngang), $W_t = \dfrac12 kx^2$ là parabol đỉnh ở gốc, $W_đ = \dfrac12 k(A^2 - x^2)$ là parabol úp, và cơ năng $W$ là đường nằm ngang. Hai parabol cắt nhau tại $\lvert x\rvert = \dfrac{A}{\sqrt2}$ nơi $W_đ = W_t = \dfrac{W}{2}$. Vật luôn nằm trong đoạn $[-A;\ A]$ vì ngoài đó $W_đ$ sẽ âm (không thể).

Từ $W = W_đ + W_t = (n + 1)W_t$ suy ra $W_t = \dfrac{W}{n + 1}$, tức $\dfrac12 kx^2 = \dfrac{1}{n+1}\cdot\dfrac12 kA^2$:

$$\lvert x\rvert = \frac{A}{\sqrt{n + 1}},\qquad \lvert v\rvert = v_{\max}\sqrt{\frac{n}{n + 1}}.$$

Chọn mức không của thế năng ở vị trí cân bằng. Ở vị trí có góc lệch $\alpha$:

$$W_t = mgl(1 - \cos\alpha),\qquad W_đ = \tfrac12 mv^2,\qquad W = mgl(1 - \cos\alpha_0).$$

Với góc nhỏ $1 - \cos\alpha \approx \dfrac{\alpha^2}{2}$: $W_t \approx \dfrac12 mgl\,\alpha^2 = \dfrac12\dfrac{mg}{l}s^2$ — dạng $\tfrac12 ks^2$ với "độ cứng" $\dfrac{mg}{l}$. Cơ năng $W \approx \dfrac12 mgl\,\alpha_0^2$ và $v_{\max} = \sqrt{2gl(1 - \cos\alpha_0)}$. Mọi kết luận về con lắc lò xo (biến thiên $2f$, bảo toàn, $W_đ = nW_t$) áp dụng tương tự.