Con lắc lò xo

Một quả nặng khối lượng $m$ gắn vào đầu một lò xo nhẹ có độ cứng $k$, đầu kia cố định; quả nặng trượt không ma sát trên mặt phẳng ngang. Chọn trục $Ox$ dọc theo lò xo, gốc $O$ tại vị trí lò xo không biến dạng (cũng là vị trí cân bằng), $x$ là li độ cũng là độ biến dạng của lò xo.

Lực duy nhất theo phương $Ox$ là lực đàn hồi $F = -kx$ (định luật Hooke). Định luật II Newton:

$$ma = -kx \quad\Longrightarrow\quad a = -\frac{k}{m}x.$$

So với $a = -\omega^2 x$ ta thấy ngay quả nặng dao động điều hoà với

Ý nghĩa: chu kì chỉ do khối lượng $m$ và độ cứng $k$ quyết định, không phụ thuộc biên độ (kéo ra ít hay nhiều đều như nhau) và không phụ thuộc cách kích thích. Khối lượng lớn ($m$ tăng) thì "ì" hơn, $T$ tăng; lò xo cứng ($k$ tăng) thì kéo mạnh hơn, $T$ giảm. $T \propto \sqrt m$ nên khối lượng gấp $4$ lần thì $T$ gấp $2$ lần.

Lực kéo về chính là lực đàn hồi: $F = -kx$; độ lớn cực đại $kA$ ở biên.

Độ cứng tương đương $k$ của hai lò xo $k_1$, $k_2$:

• nối tiếp (nối đầu này với đầu kia, mỗi lò xo chịu cùng lực, độ giãn cộng lại): $\dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2}$, tức $k = \dfrac{k_1k_2}{k_1 + k_2}$ nhỏ hơn cả hai;
• song song (cùng kéo một vật, độ giãn bằng nhau, lực cộng lại): $k = k_1 + k_2$ lớn hơn cả hai.

Cắt một lò xo độ cứng $k_0$, chiều dài $l_0$ thành đoạn dài $l$: đoạn ngắn hơn cứng hơn, $k\,l = k_0 l_0$ không đổi, tức $k = k_0\dfrac{l_0}{l}$.

Treo quả nặng vào lò xo có chiều dài tự nhiên $l_0$. Ở vị trí cân bằng lò xo đã giãn một đoạn $\Delta l_0$ sao cho lực đàn hồi cân bằng trọng lực:

$$k\,\Delta l_0 = mg \quad\Longrightarrow\quad \Delta l_0 = \frac{mg}{k}.$$

Chọn trục $Ox$ hướng xuống, gốc tại vị trí cân bằng (không phải vị trí lò xo tự nhiên). Khi quả nặng có li độ $x$, độ giãn là $\Delta l_0 + x$ (nếu dương), hợp lực theo $Ox$:

$$F = mg - k(\Delta l_0 + x) = -kx.$$

Vẫn là dạng $-kx$ nên dao động điều hoà với cùng $\omega = \sqrt{k/m}$. Trọng lực chỉ làm dời vị trí cân bằng xuống $\Delta l_0$; nó không đổi chu kì. Ngoài ra

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l_0}{g}}.$$

Lực đàn hồi (khác lực kéo về): độ lớn $F_{\text{đh}} = k\,\lvert\Delta l_0 + x\rvert$ với $\Delta l_0 + x$ là độ giãn (âm nghĩa là nén).

Trường hợp	$F_{\text{đh,max}}$	$F_{\text{đh,min}}$
$A < \Delta l_0$ (lò xo luôn giãn)	$k(\Delta l_0 + A)$	$k(\Delta l_0 - A)$
$A \ge \Delta l_0$ (có lúc nén)	$k(\Delta l_0 + A)$	$0$ (khi lò xo không biến dạng)

Khi $A > \Delta l_0$, lò xo bị nén trong phần $x < -\Delta l_0$, lực đẩy lớn nhất $k(A - \Delta l_0)$ ở biên trên. Thời gian nén trong một chu kì: lò xo nén khi $x \le -\Delta l_0$, tức $\cos\theta \le -\dfrac{\Delta l_0}{A}$, cung rộng $2\alpha$ quanh biên âm với

$$\cos\alpha = \frac{\Delta l_0}{A},\qquad t_{\text{nén}} = \frac{2\alpha}{\omega}.$$

Nội dung	Công thức
Chu kì	$T = 2\pi\sqrt{m/k}$, $\omega = \sqrt{k/m}$
Ghép lò xo	nối tiếp $\dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2}$; song song $k = k_1 + k_2$; cắt $kl =$ hằng số
Thẳng đứng	$\Delta l_0 = \dfrac{mg}{k}$, $T = 2\pi\sqrt{\Delta l_0/g}$
Lực đàn hồi	$F_{\max} = k(\Delta l_0 + A)$; $F_{\min} = k(\Delta l_0 - A)$ hoặc $0$
Thời gian nén	$\cos\alpha = \Delta l_0/A$, $t = 2\alpha/\omega$