Năng lượng trong dao động điều hoà

Con lắc lò xo $m = 0{,}4\,\text{kg}$, $k = 100\,\text{N/m}$, biên độ $A = 6\,\text{cm}$. Tính cơ năng; tại $x = 4\,\text{cm}$ tính thế năng, động năng và tốc độ.

Giải. Đổi $A = 0{,}06\,\text{m}$. $W = \dfrac12\cdot 100\cdot 0{,}06^2 = 0{,}18\,\text{J}$. Tại $x = 0{,}04\,\text{m}$: $W_t = \dfrac12\cdot 100\cdot 0{,}04^2 = 0{,}08\,\text{J}$; $W_đ = 0{,}18 - 0{,}08 = 0{,}10\,\text{J}$; $v = \sqrt{\dfrac{2\cdot 0{,}10}{0{,}4}} = \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}707\,\text{m/s}$. Kiểm bằng $v = \omega\sqrt{A^2 - x^2}$ với $\omega = \sqrt{250} \approx 15{,}81\,\text{rad/s}$: $15{,}81\cdot\sqrt{0{,}0036 - 0{,}0016} \approx 0{,}707\,\text{m/s}$.

Với con lắc ở ví dụ 1, tìm li độ khi $W_đ = 3W_t$ và khi $W_đ = W_t$; tính tốc độ khi $W_đ = W_t$.

Giải. $W_đ = 3W_t$ ($n = 3$): $\lvert x\rvert = \dfrac{A}{2} = 3\,\text{cm}$. $W_đ = W_t$ ($n = 1$): $\lvert x\rvert = \dfrac{A}{\sqrt2} = \dfrac{6}{\sqrt2} \approx 4{,}24\,\text{cm}$. Khi đó $v = \dfrac{v_{\max}}{\sqrt2}$ với $v_{\max} = \omega A \approx 15{,}81\cdot 0{,}06 \approx 0{,}949\,\text{m/s}$, nên $v \approx 0{,}671\,\text{m/s}$.

Con lắc dao động với tần số $2{,}5\,\text{Hz}$. Tính chu kì biến thiên của động năng, tần số biến thiên của thế năng, và khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng.

Giải. $T = \dfrac{1}{2{,}5} = 0{,}4\,\text{s}$. Chu kì của động năng $\dfrac{T}{2} = 0{,}2\,\text{s}$; tần số của thế năng $2f = 5\,\text{Hz}$; hai lần liên tiếp $W_đ = W_t$ cách nhau $\dfrac{T}{4} = 0{,}1\,\text{s}$.

Đồ thị thế năng theo li độ là parabol đi qua gốc, đạt $0{,}2\,\text{J}$ tại $x = \pm 10\,\text{cm}$ (hai biên). Chu kì dao động của quả nặng là $0{,}2\pi\,\text{s}$. Tìm $k$ và $m$.

Giải. $W = 0{,}2\,\text{J}$ tại $A = 0{,}1\,\text{m}$: $k = \dfrac{2W}{A^2} = \dfrac{0{,}4}{0{,}01} = 40\,\text{N/m}$. $\omega = \dfrac{2\pi}{0{,}2\pi} = 10\,\text{rad/s}$ nên $m = \dfrac{k}{\omega^2} = \dfrac{40}{100} = 0{,}4\,\text{kg}$.

Con lắc đơn $l = 0{,}8\,\text{m}$, quả nặng $m = 0{,}05\,\text{kg}$, kéo lệch $\alpha_0 = 6^\circ$ rồi thả ($g = 10\,\text{m/s}^2$). Tính cơ năng và tốc độ cực đại.

Giải. $W = mgl(1 - \cos 6^\circ) = 0{,}05\cdot 10\cdot 0{,}8\cdot 0{,}005478 \approx 2{,}19\cdot 10^{-3}\,\text{J}$. $v_{\max} = \sqrt{\dfrac{2W}{m}} \approx 0{,}296\,\text{m/s}$. (Công thức góc nhỏ $\dfrac12 mgl\alpha_0^2$ với $\alpha_0 = 0{,}1047\,\text{rad}$ cho $2{,}19\cdot10^{-3}\,\text{J}$, trùng đến ba chữ số.)

Tại li độ $x = \dfrac{A}{3}$, tỉ số $\dfrac{W_đ}{W_t}$ bằng bao nhiêu?

Giải. $W_t = \dfrac12 k\dfrac{A^2}{9} = \dfrac{W}{9}$, $W_đ = \dfrac{8W}{9}$ nên $\dfrac{W_đ}{W_t} = 8$.