Tụ phẳng, điện môi và ngắt nguồn, nối nguồn

Trong mục này dùng $k=9\cdot10^9\,\text{N·m}^2/\text{C}^2$.

Tụ phẳng không khí có diện tích mỗi bản $S=100\,\text{cm}^2$, hai bản cách nhau $d=1\,\text{mm}$. Tính $C$. Nếu lấp đầy giữa hai bản bằng điện môi $\varepsilon=4$ thì $C$ bằng bao nhiêu?

Giải. $S=10^{-2}\,\text{m}^2$, $d=10^{-3}\,\text{m}$. $C=\dfrac{1\cdot10^{-2}}{4\pi\cdot9\cdot10^9\cdot10^{-3}}\approx8{,}84\cdot10^{-11}\,\text{F}\approx88{,}4\,\text{pF}$. Có điện môi: $C'=4C\approx3{,}54\cdot10^{-10}\,\text{F}$.

Cần tụ phẳng không khí $1\,\text{nF}$ với $d=0{,}5\,\text{mm}$. Diện tích mỗi bản?

Giải. $S=\dfrac{4\pi k\,d\,C}{\varepsilon}=4\pi\cdot9\cdot10^9\cdot5\cdot10^{-4}\cdot10^{-9}\approx5{,}65\cdot10^{-2}\,\text{m}^2\approx565\,\text{cm}^2$ (bản vuông cạnh khoảng $24\,\text{cm}$).

Một tụ phẳng giảm khoảng cách hai bản còn một nửa và tăng diện tích lên gấp đôi. $C$ đổi thế nào?

Giải. $\dfrac{C'}{C}=\dfrac{S'}{S}\cdot\dfrac d{d'}=2\cdot2=4$: $C$ tăng $4$ lần.

Tụ phẳng $C_0=2\,\text{nF}$ được nối với nguồn $U_0=100\,\text{V}$, năng lượng $W_0=\tfrac12C_0U_0^2=1\cdot10^{-5}\,\text{J}$. Sau đó tăng khoảng cách hai bản lên gấp đôi ($C=1\,\text{nF}$). Tính $U$, $Q$, $W$ và công ngoại lực trong hai trường hợp: (a) đã ngắt khỏi nguồn; (b) vẫn nối nguồn.

Giải. Điện tích ban đầu $Q_0=C_0U_0=2\cdot10^{-7}\,\text{C}$.

(a) Ngắt nguồn: $Q=2\cdot10^{-7}\,\text{C}$ không đổi, $U=\dfrac QC=200\,\text{V}$, $W=\dfrac{Q^2}{2C}=2\cdot10^{-5}\,\text{J}$. Công ngoại lực $A=W-W_0=1\cdot10^{-5}\,\text{J}$.

(b) Nối nguồn: $U=100\,\text{V}$, $Q=CU=1\cdot10^{-7}\,\text{C}$ (giảm $1\cdot10^{-7}\,\text{C}$, chảy ngược về nguồn), $W=\tfrac12CU^2=5\cdot10^{-6}\,\text{J}$, năng lượng tụ giảm $5\cdot10^{-6}\,\text{J}$. Nguồn thực hiện công $U\,\Delta Q=100\cdot(-10^{-7})=-1\cdot10^{-5}\,\text{J}$ (tức nhận $10^{-5}\,\text{J}$). Công ngoại lực $A=\Delta W-U\,\Delta Q=-5\cdot10^{-6}+10^{-5}=5\cdot10^{-6}\,\text{J}$. Vẫn dương: kéo ra vẫn tốn công, dù năng lượng của tụ giảm.

Tụ $C_0=2\,\text{nF}$ tích điện ở $U_0=100\,\text{V}$. Lấp đầy điện môi $\varepsilon=4$ vào giữa hai bản. Tính $U$ và $W$ nếu (a) đã ngắt nguồn; (b) vẫn nối nguồn.

Giải. $C=4C_0=8\,\text{nF}$. (a) $Q=2\cdot10^{-7}\,\text{C}$, $U=\dfrac{Q}{C}=25\,\text{V}$, $W=\dfrac{Q^2}{2C}=2{,}5\cdot10^{-6}\,\text{J}$ (bằng $\dfrac{W_0}{4}$). (b) $U=100\,\text{V}$, $Q=8\cdot10^{-7}\,\text{C}$, $W=\tfrac12CU^2=4\cdot10^{-5}\,\text{J}$ (bằng $4W_0$).