Phanh xe, gặp nhau và đuổi nhau

Ô tô chạy $72$ km/h thì phanh với gia tốc $-4\,\text{m/s}^2$ đến khi dừng. Tính thời gian và quãng đường phanh.

Giải. $v_0 = 20\,\text{m/s}$. $t = \dfrac{20}{4} = 5\ \text{s}$, $s = \dfrac{20^2}{2\cdot 4} = 50\,\text{m}$.

Xe chạy $54$ km/h, người lái nhìn thấy chướng ngại vật cách $30$ m, mất $0{,}75$ s phản ứng rồi phanh với $a = -5\,\text{m/s}^2$. Xe có tránh được va chạm không? Nếu không, vận tốc khi va chạm là bao nhiêu?

Giải. $v_0 = 15\,\text{m/s}$. Trong thời gian phản ứng xe đi $15\cdot 0{,}75 = 11{,}25$ m. Quãng đường phanh dừng hẳn: $\dfrac{15^2}{2\cdot 5} = 22{,}5$ m. Tổng $33{,}75$ m $> 30$ m: không kịp dừng.

Sau phản ứng xe còn cách vật $30 - 11{,}25 = 18{,}75$ m. Vận tốc khi tới vật: $v^2 = 15^2 - 2\cdot 5\cdot 18{,}75 = 225 - 187{,}5 = 37{,}5$, nên $v \approx 6{,}12\,\text{m/s}\ (\approx 22\ \text{km/h})$.

Xe chạy $15\,\text{m/s}$ phải dừng trong đúng $25$ m. Gia tốc phanh tối thiểu (độ lớn) là bao nhiêu? Mất bao lâu?

Giải. $\lvert a\rvert = \dfrac{15^2}{2\cdot 25} = 4{,}5\,\text{m/s}^2$ (tức $a = -4{,}5$); $t = \dfrac{15}{4{,}5} = 3{,}33\ \text{s}$ (làm tròn hai chữ số thập phân).

Cùng một con đường, $a = -5\,\text{m/s}^2$. So sánh quãng đường phanh ở $36$ km/h và $72$ km/h.

Giải. $36$ km/h $= 10\,\text{m/s}$: $s = \dfrac{100}{10} = 10$ m. $72$ km/h $= 20\,\text{m/s}$: $s = \dfrac{400}{10} = 40$ m. Tốc độ gấp đôi, quãng đường phanh gấp bốn.

Xe chạy $10\,\text{m/s}$ phanh với $a = -2{,}5\,\text{m/s}^2$. Tính quãng đường xe đi được sau $6$ s kể từ lúc phanh.

Giải. Thời gian dừng $t_d = 10/2{,}5 = 4$ s $< 6$ s, nên sau $4$ s xe đã đứng yên. Quãng đường $= \dfrac{10^2}{2\cdot 2{,}5} = 20$ m. (Nếu thay thẳng $t = 6$ vào $v_0 t + \tfrac12 at^2$ sẽ ra $60 - 45 = 15$ m, sai vì xe không lùi lại.)

Xe A đứng yên ở gốc toạ độ, bắt đầu chạy nhanh dần đều với $a = 1{,}5\,\text{m/s}^2$. Cùng lúc đó xe B đang ở $x = 60$ m chạy đều $12\,\text{m/s}$ cùng chiều. Hỏi xe A đuổi kịp xe B lúc nào, ở đâu, khi đó vận tốc xe A bao nhiêu? Khoảng cách lớn nhất giữa hai xe trước khi đuổi kịp là bao nhiêu?

Giải. Chiều dương là chiều chạy, $t = 0$ lúc xe A bắt đầu chạy.

$$x_A = 0{,}75t^2, \qquad x_B = 60 + 12t.$$

Đặt $x_A = x_B$: $0{,}75t^2 - 12t - 60 = 0$, nhân $4/3$: $t^2 - 16t - 80 = 0$, nên $t = 20$ s hoặc $t = -4$ s (loại, $t < 0$). Vị trí $x = 0{,}75\cdot 400 = 300$ m. Vận tốc xe A lúc đó $v_A = 1{,}5\cdot 20 = 30\,\text{m/s}$ (lớn hơn $12$ nên vượt qua xe B).

Khoảng cách $x_B - x_A$ lớn nhất khi $v_A = v_B$: $1{,}5t = 12$, $t = 8$ s, khi đó $x_B - x_A = 60 + 96 - 48 = 108$ m.

Xe A xuất phát từ gốc toạ độ, từ nghỉ, $a = 2\,\text{m/s}^2$. Cùng lúc đó xe B ở $x = 105$ m chạy đều ngược chiều (về phía gốc) với tốc độ $8\,\text{m/s}$. Tìm lúc và nơi gặp nhau.

Giải. $x_A = t^2$, $x_B = 105 - 8t$ (vận tốc $-8$ vì ngược chiều dương). $t^2 + 8t - 105 = 0$, nên $t = 7$ s hoặc $t = -15$ s (loại). Gặp nhau tại $x = 49$ m.

Xe A xuất phát từ gốc với $v_0 = 16\,\text{m/s}$, $a = -2\,\text{m/s}^2$. Cùng lúc xe B ở $x = 36$ m chạy ngược chiều đều $4\,\text{m/s}$ (về phía gốc). Tìm lúc gặp nhau.

Giải. $x_A = 16t - t^2$, $x_B = 36 - 4t$. Xe A dừng sau $t_d = 8$ s tại $x_d = \dfrac{16^2}{4} = 64$ m. Giải: $16t - t^2 = 36 - 4t$ nên $t^2 - 20t + 36 = 0$, $t = 2$ s hoặc $t = 18$ s. Chỉ nhận $t = 2 \le 8$ (với $t = 18$, A đã dừng từ lâu và công thức không còn đúng). Gặp nhau tại $x = 16\cdot 2 - 4 = 28$ m.

Giữ nguyên xe A như Ví dụ 8 nhưng xe B xuất phát từ $x = 100$ m, vẫn chạy ngược chiều đều $4\,\text{m/s}$. Hai xe có gặp nhau không?

Giải. $16t - t^2 = 100 - 4t$ nên $t^2 - 20t + 100 = 0$, nghiệm kép $t = 10$ s. Nhưng $t_d = 8$ s, nên $t = 10$ là nghiệm giả: tới $t = 8$ s xe A đã dừng ở $x_d = 64$ m. Xe B tới đó khi $100 - 4t = 64$, tức $t = 9$ s. Gặp nhau lúc $t = 9$ s tại $x = 64$ m (xe B tới chỗ xe A đang đứng).