Tổng hợp vận tốc vuông góc: qua sông, khoảng cách nhỏ nhất

Công thức $\vec v_{13} = \vec v_{12} + \vec v_{23}$ vẫn đúng với mọi phương: cộng vectơ. Hai vận tốc vuông góc cho vectơ tổng là đường chéo của hình chữ nhật:

với $\alpha$ là góc giữa $\vec v_{13}$ và $\vec v_{12}$.

Sông thẳng rộng $L$, nước chảy với tốc độ $u$ dọc bờ. Thuyền có tốc độ $v$ so với nước. Chọn $Ox$ dọc bờ theo chiều dòng nước, $Oy$ vuông góc bờ hướng sang bờ kia. Gọi $\theta$ là góc giữa hướng lái và phương $Oy$ (vuông góc bờ), lái lệch về phía ngược dòng khi cần.

Hai thành phần của $\vec v_{13}$:

• Thời gian qua sông $t = \dfrac{L}{v_y} = \dfrac{L}{v\cos\theta}$ chỉ phụ thuộc thành phần vuông góc bờ.
• Quãng trôi xuống hạ lưu: $x = v_x\,t$.

Trường hợp A: lái vuông góc bờ ($\theta = 0$): thời gian ngắn nhất $t = L/v$; trôi $x = u\,t = \dfrac{uL}{v}$; tốc độ so với bờ $\sqrt{v^2 + u^2}$.

Trường hợp B: tới đúng điểm đối diện ($v_x = 0$): cần $v\sin\theta = u$, tức $\sin\theta = \dfrac{u}{v}$ (chỉ làm được khi $v > u$), lái chếch về phía ngược dòng. Tốc độ so với bờ $\sqrt{v^2 - u^2}$, thời gian $t = \dfrac{L}{\sqrt{v^2 - u^2}}$, lâu hơn trường hợp A.

Khi $v \le u$: không thể tới đúng điểm đối diện, vì dù lái thế nào, thành phần dọc theo bờ của $\vec v_{12}$ không thể triệt tiêu dòng nước.

Hai vật chuyển động đều trên hai đường thẳng cắt vuông góc tại $O$. Chọn gốc toạ độ ở $O$, thời gian từ lúc $t = 0$. Toạ độ của hai vật là hai hàm bậc nhất của $t$, nên bình phương khoảng cách

là tam thức bậc hai của $t$, $d^2 = at^2 + bt + c$ với $a > 0$. Nó nhỏ nhất tại $t = -\dfrac{b}{2a}$; chỉ nhận nếu $t \ge 0$ (nếu âm thì hai vật đang rời xa nhau ngay từ đầu, khoảng cách nhỏ nhất ứng với $t = 0$).

Cách khác: dùng vận tốc của vật này so với vật kia. Đứng trong hệ gắn với vật $2$, vật $1$ chuyển động đều thẳng với $\vec v_{12} = \vec v_1 - \vec v_2$, và khoảng cách nhỏ nhất là khoảng cách từ vị trí vật $2$ tới đường thẳng đó.

• Vuông góc: $v_{13} = \sqrt{v_{12}^2 + v_{23}^2}$, $\tan\alpha = v_{23}/v_{12}$.
• Qua sông: $v_y = v\cos\theta$, $v_x = u - v\sin\theta$; $t = L/v_y$.
• Nhanh nhất: lái vuông góc bờ ($t = L/v$, trôi $uL/v$). Đúng đối diện: $\sin\theta = u/v$ (cần $v > u$), $t = L/\sqrt{v^2 - u^2}$.
• Khoảng cách nhỏ nhất: $d^2$ là tam thức bậc hai, cực tiểu tại $t = -b/2a \ge 0$.