Ném thẳng đứng và hai vật trong trọng trường

Mọi ví dụ lấy $g = 10\,\text{m/s}^2$, chiều dương hướng lên.

Ném vật lên với $v_0 = 30\,\text{m/s}$ từ mặt đất. Tìm độ cao cực đại, tổng thời gian bay, vận tốc khi chạm đất; và các thời điểm vật ở độ cao $25$ m.

Giải. $h_{max} = \dfrac{30^2}{20} = 45$ m, thời gian lên $3$ s, tổng $6$ s, vận tốc chạm đất $-30\,\text{m/s}$.

Độ cao $25$ m: $30t - 5t^2 = 25$, tức $t^2 - 6t + 5 = 0$, $t = 1$ s hoặc $t = 5$ s. Tại $t = 1$: $v = 20\,\text{m/s}$ (đang lên); tại $t = 5$: $v = -20\,\text{m/s}$ (đang xuống). Hai thời điểm đối xứng quanh $t = 3$ s (đỉnh).

Từ nóc toà nhà cao $40$ m, ném vật lên với $v_0 = 10\,\text{m/s}$. Tìm độ cao cực đại so với mặt đất, thời gian rơi tới đất và vận tốc khi chạm đất.

Giải. $y = 40 + 10t - 5t^2$. Điểm cao nhất: $v = 10 - 10t = 0$ nên $t = 1$ s, $h_{max} = 40 + 10 - 5 = 45$ m. Chạm đất: $40 + 10t - 5t^2 = 0$, $t^2 - 2t - 8 = 0$, $t = 4$ s (loại $t = -2$). Vận tốc $v = 10 - 40 = -30\,\text{m/s}$ (kiểm: $\sqrt{10^2 + 2\cdot 10\cdot 40} = 30$).

Từ độ cao $75$ m ném vật thẳng đứng xuống với tốc độ $10\,\text{m/s}$. Tính thời gian rơi và vận tốc chạm đất.

Giải. $v_0 = -10$, $y = 75 - 10t - 5t^2 = 0$ nên $t^2 + 2t - 15 = 0$, $t = 3$ s. Vận tốc $v = -10 - 30 = -40$, tốc độ $40\,\text{m/s}$ (kiểm: $\sqrt{100 + 1500} = 40$).

Một vật rơi tự do, quãng đường đi được trong giây cuối cùng là $35$ m. Tính thời gian rơi và độ cao thả.

Giải. $\tfrac12\cdot 10\,(2t - 1) = 35$ nên $2t - 1 = 7$, $t = 4$ s; $h = 5\cdot 16 = 80$ m. Kiểm: $80 - 45 = 35$ m (quãng đường $3$ giây đầu là $45$ m).

Thả vật A từ độ cao lớn; sau $2$ s thả vật B từ cùng điểm. Tính khoảng cách hai vật ở thời điểm $5$ s kể từ lúc thả A (hai vật chưa chạm đất).

Giải. Với $t \ge 2$: $y_A = -5t^2$, $y_B = -5(t - 2)^2$ (gốc ở điểm thả). Khoảng cách $= 5t^2 - 5(t-2)^2 = 20t - 20$. Tại $t = 5$: $80$ m. Khoảng cách tăng đều $20\,\text{m}$ mỗi giây (bằng $g\Delta t = 20\,\text{m/s}$): trong hệ gắn với B, vật A chuyển động đều.

Thả vật A từ độ cao $100$ m (không vận tốc đầu); cùng lúc, từ mặt đất ném vật B thẳng đứng lên với $v_0 = 25\,\text{m/s}$ ở cùng đường thẳng đứng. Hai vật gặp nhau lúc nào, ở độ cao nào, mỗi vật đang chuyển động thế nào?

Giải. $y_A = 100 - 5t^2$, $y_B = 25t - 5t^2$. $y_A = y_B$ nên $100 = 25t$, $t = 4$ s. Độ cao $y = 100 - 80 = 20$ m (kiểm với B: $25\cdot 4 - 80 = 20$ m). Vận tốc: $v_A = -40\,\text{m/s}$, $v_B = 25 - 40 = -15\,\text{m/s}$: cả hai đang đi xuống. Kiểm điều kiện: A chạm đất lúc $t = \sqrt{20} \approx 4{,}47$ s $> 4$ s; B bay $2v_0/g = 5$ s $> 4$ s. Hợp lệ.

Vật A ném lên từ mặt đất với $v_0 = 20\,\text{m/s}$. Sau $2$ s, vật B cũng được ném lên từ cùng chỗ với $v_0 = 20\,\text{m/s}$. Hai vật gặp nhau lúc nào, ở đâu?

Giải. Gốc thời gian lúc ném A: $y_A = 20t - 5t^2$, $y_B = 20(t - 2) - 5(t - 2)^2$. Khai triển $y_B = 20t - 40 - 5t^2 + 20t - 20 = -5t^2 + 40t - 60$. $y_A = y_B$ nên $20t = 40t - 60$, $t = 3$ s, $y = 60 - 45 = 15$ m. Lúc đó A đã bay $3$ s (vận tốc $-10$, đang xuống), B mới bay $1$ s (vận tốc $+10$, đang lên). Hai vật gặp nhau khi một đi lên, một đi xuống.