Tổng hợp vận tốc vuông góc: qua sông, khoảng cách nhỏ nhất

Máy bay bay hướng đông với tốc độ $200$ km/h so với không khí; gió thổi từ nam lên bắc $50$ km/h so với mặt đất. Tính vận tốc máy bay so với mặt đất.

Giải. Hai vận tốc vuông góc: $v = \sqrt{200^2 + 50^2} = \sqrt{42500} \approx 206{,}2$ km/h. Hướng: $\tan\alpha = \dfrac{50}{200} = 0{,}25$, $\alpha \approx 14{,}0^\circ$, tức hướng đông lệch bắc $14{,}0^\circ$.

Sông rộng $120$ m, nước chảy $1{,}5$ m/s. Thuyền có tốc độ $2{,}0$ m/s so với nước và được lái vuông góc bờ. Tính thời gian qua sông, quãng trôi, tốc độ so với bờ.

Giải. $t = \dfrac{120}{2{,}0} = 60$ s. Quãng trôi $x = 1{,}5\cdot 60 = 90$ m. Tốc độ so với bờ $\sqrt{2{,}0^2 + 1{,}5^2} = 2{,}5$ m/s (kiểm: $\sqrt{(90)^2 + (120)^2}/60 = 150/60 = 2{,}5$). Hướng đi lệch khỏi phương vuông góc bờ góc $\arctan\dfrac{1{,}5}{2{,}0} \approx 36{,}9^\circ$.

Với sông và thuyền ở Ví dụ 2, phải lái thế nào để thuyền tới đúng điểm đối diện? Tính thời gian.

Giải. $\sin\theta = \dfrac{u}{v} = \dfrac{1{,}5}{2{,}0} = 0{,}75$, $\theta \approx 48{,}6^\circ$ so với phương vuông góc bờ, lái chếch ngược dòng. Tốc độ so với bờ $\sqrt{2{,}0^2 - 1{,}5^2} = \sqrt{1{,}75} \approx 1{,}32$ m/s, thời gian $t = \dfrac{120}{\sqrt{1{,}75}} \approx 90{,}7$ s.

So với Ví dụ 2: tới đúng đối diện mất $90{,}7$ s thay vì $60$ s; muốn không trôi phải trả giá bằng thời gian.

Một chiếc thuyền chèo tay có tốc độ $1{,}0$ m/s so với nước trên con sông nước chảy $1{,}5$ m/s. Có thể tới điểm đối diện không?

Giải. Không: $v = 1{,}0 < u = 1{,}5$ nên $\sin\theta = 1{,}5/1{,}0 > 1$, vô nghiệm. Dù lái thế nào thuyền vẫn bị trôi xuôi dòng.

Tàu $A$ cách giao điểm $O$ của hai luồng $45$ km về phía nam, đi về phía bắc $20$ km/h. Tàu $B$ cách $O$ $60$ km về phía tây, đi về phía đông $15$ km/h. Hai tàu xuất phát cùng lúc $t = 0$. Khoảng cách nhỏ nhất giữa chúng?

Giải. Chọn $Ox$ hướng đông, $Oy$ hướng bắc: $A(0;\ -45 + 20t)$, $B(-60 + 15t;\ 0)$.

Cực tiểu tại $t_0 = \dfrac{3600}{2\cdot 625} = 2{,}88$ h ($\ge 0$, hợp lệ). $d^2_{\min} = 441$ nên $d_{\min} = 21$ km.

Kiểm bằng vận tốc tương đối: trong hệ gắn với $B$, tàu $A$ có vận tốc $(-15;\ 20)\,\text{km/h}$ (hiệu hai vận tốc), độ lớn $25$ km/h, và ở vị trí $(60;\ -45)\,\text{km}$ so với $B$ lúc đầu. Khoảng cách từ $B$ đến đường thẳng chuyển động tương đối là $\dfrac{\lvert 60\cdot 20 - (-45)\cdot(-15)\rvert}{25} = \dfrac{525}{25} = 21$ km, cùng kết quả.