Cân bằng của chất điểm và mặt phẳng nghiêng

Đèn khối lượng $4\,\text{kg}$ treo bằng hai dây đối xứng, mỗi dây hợp phương thẳng đứng góc $30^\circ$. Lấy $g = 10\,\text{m/s}^2$. Tính lực căng mỗi dây.

Giải. Đèn cân bằng, chiếu lên phương thẳng đứng: $2T\cos30^\circ = mg = 40\,\text{N}$. Do đó $T = \dfrac{40}{2\cos30^\circ} = \dfrac{40}{\sqrt3} \approx 23{,}1\,\text{N}.$ Theo phương ngang, hai thành phần $T\sin30^\circ$ bằng nhau và ngược chiều nên tự triệt tiêu.

Vật $5\,\text{kg}$ treo ở điểm nút của hai dây vuông góc nhau: dây thứ nhất hợp phương thẳng đứng góc $30^\circ$, dây thứ hai hợp phương thẳng đứng góc $60^\circ$ (hai dây ở hai phía). Lấy $g = 10\,\text{m/s}^2$. Tính hai lực căng.

Giải. $P = 50\,\text{N}$. Theo phương ngang: $T_1\sin30^\circ = T_2\sin60^\circ$. Theo phương đứng: $T_1\cos30^\circ + T_2\cos60^\circ = 50$. Vì hai dây vuông góc, tam giác lực là tam giác vuông với cạnh huyền $P$: $T_1 = P\cos30^\circ = 25\sqrt3 \approx 43{,}3\,\text{N}, \qquad T_2 = P\cos60^\circ = 25\,\text{N}.$ Kiểm tra theo phương ngang: $43{,}3\cdot\dfrac12 = 21{,}65 = 25\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Quả cầu $3\,\text{kg}$ treo vào tường thẳng đứng nhẵn bằng một sợi dây hợp với tường góc $30^\circ$. Lấy $g = 10\,\text{m/s}^2$. Tính lực căng dây và phản lực của tường.

Giải. Ba lực: $\vec P$ (xuống), $\vec T$ (dọc dây, hướng lên và về phía tường), $\vec N$ (vuông góc tường, hướng ra xa tường). Phương đứng: $T\cos30^\circ = mg = 30$ nên $T = \dfrac{30}{\cos30^\circ} = 20\sqrt3 \approx 34{,}6\,\text{N}$. Phương ngang: $N = T\sin30^\circ = 10\sqrt3 \approx 17{,}3\,\text{N}$.

Vật $m = 2\,\text{kg}$ trượt từ trạng thái nghỉ trên mặt phẳng nghiêng nhẵn góc $\alpha = 30^\circ$. Lấy $g = 9{,}8\,\text{m/s}^2$. Tính gia tốc, phản lực pháp tuyến và vận tốc sau khi đi $10\,\text{m}$.

Giải. Chọn $Ox$ dọc dốc hướng xuống. $a = g\sin30^\circ = 4{,}9\,\text{m/s}^2, \qquad N = mg\cos30^\circ = 2\cdot9{,}8\cdot0{,}866 \approx 17{,}0\,\text{N},$ $v = \sqrt{2as} = \sqrt{2\cdot4{,}9\cdot10} = \sqrt{98} \approx 9{,}9\,\text{m/s}.$

Một khối được đẩy lên dốc nhẵn góc $30^\circ$ với vận tốc đầu $6\,\text{m/s}$ dọc dốc, rồi thả tự do. Lấy $g = 10\,\text{m/s}^2$. Khối lên cao nhất sau bao lâu, đi được bao xa dọc dốc? Sau đó nó làm gì?

Giải. Chọn chiều dương dọc dốc hướng lên: $a = -g\sin30^\circ = -5\,\text{m/s}^2$. Lên cao nhất khi $v = 0$: $t = \dfrac{0 - 6}{-5} = 1{,}2\,\text{s}, \qquad s = \dfrac{0 - 6^2}{2\cdot(-5)} = 3{,}6\,\text{m}.$ Sau đó khối trượt xuống với cùng gia tốc $5\,\text{m/s}^2$ (về độ lớn), và về đến vị trí ban đầu với vận tốc $6\,\text{m/s}$ sau thêm $1{,}2\,\text{s}$ (dốc nhẵn nên chuyển động đối xứng).