Dao động điều hoà và phương trình li độ

Một vật dao động điều hoà theo phương trình $x = 8\cos\!\left(4\pi t - \dfrac{\pi}{6}\right)\,\text{cm}$ ($t$ tính bằng giây). Tìm biên độ, tần số góc, pha ban đầu, chu kì, tần số, li độ lúc $t = 0$ và pha lúc $t = 0{,}25\,\text{s}$.

Giải. Đối chiếu với $x = A\cos(\omega t + \varphi)$: $A = 8\,\text{cm}$, $\omega = 4\pi\,\text{rad/s} \approx 12{,}57\,\text{rad/s}$, $\varphi = -\dfrac{\pi}{6}\,\text{rad}$. Chu kì $T = \dfrac{2\pi}{4\pi} = 0{,}5\,\text{s}$, tần số $f = 2\,\text{Hz}$.

Lúc $t = 0$: $x_0 = 8\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = 8\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3 \approx 6{,}93\,\text{cm}$.

Pha lúc $t = 0{,}25\,\text{s}$: $4\pi\cdot 0{,}25 - \dfrac{\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}\,\text{rad}$. Đúng $t = T/2$ nên pha tăng $\pi$ so với lúc đầu.

Một vật dao động theo phương trình $x = -5\sin(2\pi t)\,\text{cm}$. Tìm biên độ và pha ban đầu theo quy ước $x = A\cos(\omega t + \varphi)$.

Giải. Dùng $-\sin\theta = \cos\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$ với $\theta = 2\pi t$:

$$x = 5\cos\!\left(2\pi t + \frac{\pi}{2}\right)\,\text{cm}.$$

Vậy $A = 5\,\text{cm}$, $\omega = 2\pi\,\text{rad/s}$, $\varphi = \dfrac{\pi}{2}\,\text{rad}$, $T = 1\,\text{s}$. Kiểm: $t = 0$ cho $x = 0$ ở cả hai dạng; $t = 0{,}25\,\text{s}$ cho $-5\sin\dfrac{\pi}{2} = -5$ và $5\cos\pi = -5$.

Một con lắc thực hiện $36$ dao động toàn phần trong $24\,\text{s}$. Tính chu kì, tần số, tần số góc.

Giải. $T = \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}\,\text{s} \approx 0{,}667\,\text{s}$; $f = \dfrac{36}{24} = 1{,}5\,\text{Hz}$; $\omega = 2\pi f = 3\pi\,\text{rad/s} \approx 9{,}42\,\text{rad/s}$.

Vật dao động điều hoà trên đoạn thẳng dài $12\,\text{cm}$. Trong $5\,\text{s}$ vật đi qua vị trí cân bằng $20$ lần. Tìm biên độ, chu kì, tần số góc.

Giải. Biên độ $A = \dfrac{L}{2} = 6\,\text{cm}$. Mỗi chu kì qua vị trí cân bằng $2$ lần nên $20$ lần ứng với $N = 10$ dao động toàn phần. $T = \dfrac{5}{10} = 0{,}5\,\text{s}$, $\omega = \dfrac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi\,\text{rad/s}$.

Xét các phát biểu về một vật dao động điều hoà. Phát biểu nào đúng?

a) Li độ của vật biến thiên theo hàm côsin của thời gian. b) Mọi dao động tuần hoàn đều là dao động điều hoà. c) Khi vật qua vị trí cân bằng, tốc độ của vật lớn nhất. d) Tăng biên độ thì chu kì của dao động điều hoà tăng theo.

Giải. a) Đúng (định nghĩa). b) Sai: dao động tuần hoàn rộng hơn; đồ thị li độ tam giác tuần hoàn mà không điều hoà. c) Đúng: ở vị trí cân bằng $\lvert v\rvert = \omega A$ cực đại. d) Sai: chu kì $T = 2\pi/\omega$ chỉ do hệ quyết định, không phụ thuộc biên độ (ở dao động điều hoà).