Dao động tắt dần, dao động cưỡng bức và cộng hưởng

Toa tàu treo trên lò xo giảm xóc có chu kì dao động riêng $T_0 = 0{,}75\,\text{s}$. Các thanh ray dài $12\,\text{m}$, bánh xe va vào mối nối sau mỗi thanh. Tàu chạy với tốc độ nào thì toa rung mạnh nhất?

Giải. Mỗi lần bánh qua một thanh ray là một "cú đập" cách nhau $T_{\text{ng}} = \dfrac{L}{v}$. Cộng hưởng khi $T_{\text{ng}} = T_0$: $v = \dfrac{L}{T_0} = \dfrac{12}{0{,}75} = 16\,\text{m/s} = 57{,}6\,\text{km/h}$.

Nước trong một xô lắc theo phương ngang với tần số riêng $1{,}6\,\text{Hz}$. Một người xách xô, mỗi bước dài $0{,}5\,\text{m}$. Người đó đi với tốc độ bao nhiêu thì nước sóng sánh mạnh nhất (coi mỗi bước tác động một lần lên nước)?

Giải. Tần số bước chân $f_{\text{ng}} = \dfrac{v}{s}$. Cộng hưởng khi $f_{\text{ng}} = 1{,}6\,\text{Hz}$ nên $v = 1{,}6\cdot 0{,}5 = 0{,}8\,\text{m/s}$. Đi chậm hơn hay nhanh hơn một chút thì nước hết sánh; vì thế người ta khuyên "đi nhanh hơn hẳn hoặc chậm hơn hẳn".

Xích đu có chiều dài $2{,}5\,\text{m}$ (coi như con lắc đơn, $g = 10\,\text{m/s}^2$). Phải đẩy cách nhau bao lâu để xích đu lên cao dần?

Giải. $T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{2{,}5}{10}} = \pi \approx 3{,}14\,\text{s}$. Đẩy mỗi chu kì một lần, đúng chiều đang đi (cứ $3{,}14\,\text{s}$ một cú đẩy); không đẩy đúng nhịp thì năng lượng không dồn lên được.

Con lắc lò xo nằm ngang $k = 50\,\text{N/m}$, $m = 0{,}2\,\text{kg}$, hệ số ma sát $\mu = 0{,}05$, $g = 10\,\text{m/s}^2$. Kéo vật ra $A_0 = 10\,\text{cm}$ rồi thả. Tính độ giảm biên độ mỗi chu kì, số chu kì cho đến khi dừng, quãng đường tổng và thời gian dao động.

Giải. $\mu mg = 0{,}05\cdot 0{,}2\cdot 10 = 0{,}1\,\text{N}$; $d = \dfrac{0{,}1}{50} = 2\,\text{mm}$. Mỗi chu kì giảm $\Delta A = 4d = 8\,\text{mm}$. Số nửa chu kì $\dfrac{A_0}{2d} = \dfrac{100}{4} = 25$ (nguyên), tức $12{,}5$ chu kì, vật dừng đúng tại $O$. Quãng đường $s = \dfrac{kA_0^2}{2\mu mg} = \dfrac{50\cdot 0{,}01}{0{,}2} = 2{,}5\,\text{m}$. $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}2}{50}} \approx 0{,}398\,\text{s}$ nên thời gian $\approx 12{,}5T \approx 4{,}97\,\text{s}$.

Con lắc lò xo $k = 100\,\text{N/m}$, $m = 0{,}1\,\text{kg}$, $\mu = 0{,}06$, $g = 10\,\text{m/s}^2$, biên độ ban đầu $A_0 = 8{,}0\,\text{cm}$. Hỏi vật dao động bao nhiêu nửa chu kì rồi dừng ở đâu?

Giải. $\mu mg = 0{,}06\,\text{N}$, $d = 0{,}6\,\text{mm}$, $2d = 1{,}2\,\text{mm}$. $\dfrac{A_0 - d}{2d} = \dfrac{80 - 0{,}6}{1{,}2} \approx 66{,}2$ nên $n = 67$ nửa chu kì. Vị trí sau $n$ nửa chu kì là $x_n = (-1)^n(A_0 - 2nd)$; với $n = 67$: $x_{67} = -(80 - 80{,}4)\,\text{mm} = +0{,}4\,\text{mm}$, tức vật dừng cách $O$ đoạn $0{,}4\,\text{mm} < d$, cùng phía với vị trí thả ban đầu (ở nửa chu kì cuối vật đi từ $+0{,}8\,\text{mm}$ về $+0{,}4\,\text{mm}$, chưa kịp tới $O$). Tại đó lực đàn hồi $k\cdot 0{,}4\,\text{mm} = 0{,}04\,\text{N} < 0{,}06\,\text{N}$ nên ma sát giữ vật lại.

Phát biểu nào sai? a) Dao động cưỡng bức có tần số bằng tần số của ngoại lực. b) Cộng hưởng xảy ra khi tần số ngoại lực bằng tần số riêng. c) Lực cản càng lớn thì đỉnh đường cong cộng hưởng càng cao. d) Dao động duy trì có biên độ không đổi.

Giải. c) sai: lực cản lớn làm đỉnh thấp và rộng. Còn a, b, d đúng.