Hàm số đồng biến, nghịch biến

Bằng định nghĩa (tỉ số biến thiên):

1. Tìm tập xác định (hoặc khoảng đề cho).
2. Lấy $x_1, x_2$ bất kì thuộc khoảng, $x_1 \ne x_2$; tính $f(x_2) - f(x_1)$ và phân tích thành tích có thừa số $x_2 - x_1$.
3. Rút gọn $T = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ về một biểu thức theo $x_1, x_2$.
4. Xét dấu $T$ khi $x_1, x_2$ thuộc khoảng: $T > 0$ thì đồng biến, $T < 0$ thì nghịch biến. Nếu $T$ đổi dấu theo cách chọn $x_1, x_2$ thì chia khoảng nhỏ hơn.
5. Kết luận theo từng khoảng và lập bảng biến thiên.

Các hằng đẳng thức hay dùng: $x_2^2 - x_1^2 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$; $\dfrac{1}{x_2} - \dfrac{1}{x_1} = \dfrac{x_1 - x_2}{x_1x_2}$; $\sqrt{x_2} - \sqrt{x_1} = \dfrac{x_2 - x_1}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}}$.

Từ đồ thị hay bảng biến thiên: đọc đồ thị đi lên/đi xuống theo trục $Ox$, nêu khoảng theo hoành độ.

Chứng tỏ không đơn điệu: chỉ cần một cặp $x_1 < x_2$ trong khoảng mà $f(x_1) \ge f(x_2)$ (phá đồng biến) hoặc $f(x_1) \le f(x_2)$ (phá nghịch biến).

1. Viết $T$ theo $x_1, x_2, m$.
2. Yêu cầu "$T > 0$ (hoặc $T < 0$) với mọi $x_1 \ne x_2$ thuộc khoảng $I$".
3. Với hàm bậc nhất $y = ax + b$: $T = a$, nên đồng biến $\Leftrightarrow a > 0$, nghịch biến $\Leftrightarrow a < 0$.
4. Với biểu thức còn chứa $x_1 + x_2$: tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của $x_1 + x_2$ trên khoảng, chú ý có đạt được hay không (đầu mút mở).

Lỗi	Vì sao sai	Cách tránh
Kết luận $y = 1/x$ nghịch biến trên $\mathbb{R} \setminus \{0\}$	Phản ví dụ $f(-1) < f(1)$	Kết luận trên từng khoảng liền
Kết luận đồng biến chỉ vì thử vài cặp số	Định nghĩa đòi "mọi" cặp	Chứng minh bằng $T$ tổng quát
Nhầm chiều: "$f(x_1) < f(x_2)$ khi $x_1 < x_2$ là nghịch biến"	Đó là đồng biến	Nhớ "đi lên" $\Leftrightarrow$ tăng $\Leftrightarrow$ đồng biến
Cho rằng $y = ax + b$ đồng biến vì $b > 0$	Chiều biến thiên phụ thuộc $a$, không phải $b$	Dùng $T = a$
Quên phân tích thừa số $(x_2 - x_1)$ trong $f(x_2) - f(x_1)$	Không thể xét dấu $T$ nếu còn thừa số này chia	Luôn rút gọn ra tích
Chỉ xét $x_1, x_2$ ở một khoảng khi kết luận cho cả hai	Dấu $T$ có thể khác nhau ở hai khoảng	Lập luận riêng từng khoảng
Đòi $2 - 2m > 0$ (bỏ mất $m = 1$) ở Ví dụ 8	$x_1 + x_2$ luôn lớn hơn $2$ chứ không bằng $2$, nên $2 - 2m = 0$ vẫn cho $T > 0$	Xét giá trị nhỏ nhất của $x_1 + x_2$ có đạt được hay không