Diện tích tam giác, bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp

Với tam giác $ABC$, $p = \dfrac{a + b + c}{2}$ là nửa chu vi, $R$ và $r$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp, $h_a$ là đường cao ứng với cạnh $a$:

• (2): Đường cao hạ từ $C$ xuống đường thẳng $AB$ có độ dài $h_c = b\sin A$ (đúng cả khi $A$ tù, vì $\sin(180^\circ - A) = \sin A$). Thay vào $S = \dfrac12 c\,h_c$.
• (3): Từ (2) và định lí sin $\sin C = \dfrac{c}{2R}$: $S = \dfrac12 ab\cdot\dfrac{c}{2R} = \dfrac{abc}{4R}$.
• (4): Tâm $I$ của đường tròn nội tiếp chia tam giác thành ba tam giác $IBC$, $ICA$, $IAB$ có cùng đường cao $r$. Cộng diện tích: $S = \dfrac12 ar + \dfrac12 br + \dfrac12 cr = pr$.
• (5): Tính $\cos A$ theo định lí côsin, suy ra $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}$ rồi thay vào (2). Sau khi biến đổi bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta được (5).

Khi đã có $S$:

Nếu $D$ nằm trên tia $AB$, $E$ nằm trên tia $AC$, thì hai tam giác $ADE$ và $ABC$ có chung góc $A$, và theo (2):

Từ (2): với hai cạnh $b$, $c$ cố định, $S = \dfrac12 bc\sin A \le \dfrac12 bc$, dấu bằng khi $A = 90^\circ$.

Trong các tam giác có cùng chu vi $2p$, tam giác đều có diện tích lớn nhất. Lí do: theo bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương $p - a$, $p - b$, $p - c$ (có tổng bằng $p$),

dấu bằng khi $a = b = c$.

• Suy ngược: $h_a = \dfrac{2S}{a}$, $R = \dfrac{abc}{4S}$, $r = \dfrac{S}{p}$.
• Hai tam giác chung góc: tỉ số diện tích bằng tỉ số tích hai cạnh kề góc đó.
• Cố định hai cạnh: diện tích lớn nhất khi góc xen giữa vuông. Cố định chu vi: lớn nhất khi tam giác đều.