Tam thức bậc hai, nghiệm và biệt thức

"Tam thức" nghĩa là có ba hạng tử $ax^2$, $bx$, $c$ (có thể có hệ số bằng $0$, ví dụ $x^2 - 9$ có $b = 0$). "Bậc hai" vì số mũ lớn nhất của $x$ là $2$. Điều kiện $a \ne 0$ là bắt buộc: nếu $a = 0$ thì $f(x) = bx + c$ chỉ còn là nhị thức bậc nhất.

Dòng cuối cho thấy bài toán chứa tham số phải luôn hỏi: "với giá trị nào của tham số thì $a \ne 0$?". Ta sẽ gặp lại ở bài 7 và 8.

Số $x_0$ là nghiệm của tam thức $f(x) = ax^2 + bx + c$ nếu $f(x_0) = 0$. Nghiệm của tam thức chính là nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ (đã học ở lớp 9).

Công thức thu gọn tiện khi $b$ chẵn: số nhỏ hơn, ít sai hơn. Chú ý mẫu số của công thức nghiệm khi dùng $\Delta'$ là $a$, không phải $2a$.

Vì sao công thức đúng? Đây là chỗ đáng hiểu vì nó cũng là gốc của định lí dấu ở bài sau. Đưa $a$ ra ngoài rồi "bù thêm bình phương":

Trong ngoặc là "một bình phương trừ một số". Số $\dfrac{\Delta}{4a^2}$ có dấu của $\Delta$. Nếu $\Delta < 0$ thì ta đang cộng một số dương vào một bình phương, không bao giờ bằng $0$: vô nghiệm. Nếu $\Delta = 0$ thì chỉ còn $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = 0$: nghiệm kép. Nếu $\Delta > 0$ thì hiệu hai bình phương cho hai nghiệm.

Hai dạng đầu là công cụ chính để xét dấu: dấu của tích được đọc từ dấu của từng nhân tử. Nhắc lại hệ thức Viète đã học ở lớp 9: nếu $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm thì $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ và $x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$. Có thể dùng để nhẩm nghiệm khi hệ số đẹp (xem Ví dụ 2).

Đồ thị của $y = f(x) = ax^2 + bx + c$ là một parabol. Nghiệm của $f$ là hoành độ các điểm mà parabol chạm hoặc cắt trục $Ox$ (vì tại đó $y = 0$). Do đó:

Tịnh tiến parabol lên xuống thì $\Delta$ đổi dấu đúng lúc parabol rời hoặc chạm trục $Ox$. Đây là hình ảnh sẽ lặp lại suốt chương: kéo parabol lên hạ xuống, nhìn $\Delta$ chạy từ dương qua $0$ đến âm.

• $f(x) = ax^2 + bx + c$, $a \ne 0$. Nghiệm: $f(x_0) = 0$.
• $\Delta = b^2 - 4ac$; $\Delta > 0$: hai nghiệm, $\Delta = 0$: nghiệm kép, $\Delta < 0$: vô nghiệm. $\Delta' = b'^2 - ac$ khi $b = 2b'$, cùng dấu với $\Delta$.
• $\Delta > 0$: $f = a(x-x_1)(x-x_2)$; $\Delta = 0$: $f = a(x-x_0)^2$.
• Nghiệm = hoành độ giao điểm của parabol với $Ox$; $\Delta$ cho biết số giao điểm.