Tham số và số nghiệm · Toán 10

Phương trình quy về bậc hai có tham số, biện luận số nghiệm

Đường ngang cắt đồ thị

Mục tiêu

Đặt ẩn phụ để đưa phương trình có tham số $m$ về phương trình bậc hai theo $t$ , và chuyển bài toán "đếm nghiệm $x$ " thành bài toán "nghiệm $t$ nằm ở đâu".
Biết quan hệ giữa số nghiệm $t$ và số nghiệm $x$ trong từng loại (một–một, một–hai, một–hai có ngoại lệ).
Biện luận bằng hai cách: điều kiện nghiệm bậc hai (Δ, tổng, tích) và cô lập tham số $m = g(t)$ rồi đọc từ đồ thị.

Khởi động

Phương trình $x^4 - 4x^2 + m = 0$ có bao nhiêu nghiệm? Đáp án phụ thuộc $m$ . Khi $m = 3$ có bốn nghiệm ( $\pm1,\ \pm\sqrt3$ ). Khi $m = 4$ chỉ còn hai nghiệm $\pm\sqrt2$ . Khi $m = 5$ vô nghiệm. Khi $m = 0$ có ba nghiệm ( $0,\ \pm2$ ). Vì sao lại như vậy? Đặt $t = x^2$ thì phương trình là $t^2 - 4t + m = 0$ và số nghiệm $x$ phụ thuộc vị trí các nghiệm $t$ : nghiệm $t$ dương cho hai $x$ , nghiệm $t = 0$ cho một $x$ , nghiệm $t$ âm cho không $x$ . Biện luận số nghiệm chính là đọc vị trí của $t$ .

01Kiến thức cần nhớ

1. Từ số nghiệm $t$ sang số nghiệm $x$

Sau khi đặt $t = h(x)$ , mỗi giá trị $t_0$ ứng với số nghiệm của $h(x) = t_0$ . Ba kiểu hay gặp:

Ẩn phụ	Miền của $t$	Số $x$ ứng với $t_0$
$t = \sqrt{x + a}$ (hoặc căn bậc nhất)	$t \ge 0$	đúng $1$ nếu $t_0 \ge 0$ (vì $x = t_0^2 - a$ ), không nếu $t_0 < 0$
$t = x^2$	$t \ge 0$	$2$ nếu $t_0 > 0$ ; $1$ nếu $t_0 = 0$ ; $0$ nếu $t_0 < 0$
$t = x + \dfrac1x$	$\lvert t \rvert \ge 2$	$2$ nếu $\lvert t_0 \rvert > 2$ ; $1$ nếu $\lvert t_0 \rvert = 2$ ; $0$ nếu $\lvert t_0 \rvert < 2$

Phép đặt $t = \sqrt{x + a}$ là tương ứng một–một giữa $t \ge 0$ và $x$ ; do đó số nghiệm $x$ bằng số nghiệm $t \ge 0$ .

2. Cách 1: điều kiện nghiệm của phương trình bậc hai theo $t$

Phương trình bậc hai $at^2 + bt + c = 0$ có nghiệm nằm trong miền cho trước được xét bằng $\Delta$ , tổng $S = -\dfrac ba$ và tích $P = \dfrac ca$ (xem bài điều kiện nghiệm và hệ thức Viète). Những điều kiện cần nhớ cho nghiệm không âm ( $t \ge 0$ ):

hai nghiệm phân biệt đều $\ge 0$ : $\Delta > 0$ , $S > 0$ , $P \ge 0$ ;
đúng một nghiệm $t \ge 0$ : $P < 0$ (hai nghiệm trái dấu), hoặc $\Delta = 0$ và $S > 0$ (nghiệm kép dương), hoặc $P = 0$ và $S < 0$ (nghiệm $0$ và một nghiệm âm).

3. Cách 2: cô lập tham số, đường ngang cắt đồ thị

Nếu $m$ tách được: $m = g(t)$ thì số nghiệm $t$ là số giao điểm của đường ngang $y = m$ với đồ thị $y = g(t)$ trên miền của $t$ . Đọc số nghiệm bằng cách "quét" đường ngang từ dưới lên: mỗi lần chạm cực trị hay chạm đầu mút, số giao điểm đổi (xem bài cô lập tham số). Kết hợp thêm bảng "số $x$ ứng với $t_0$ " ở mục 1.

Tương tácCô lập m = g(t): đếm hai tầng

m

−2

m = - 2 :

nghiệm

t

hợp lệ

{3, 236}

Số nghiệm

x

: 2 (

1

giá trị

t

, mỗi

∣ t ∣ > 2

cho hai

x

∣ t ∣ = 2

cho một)

$m > 2$	0 nghiệm x
$m = 2$	1 nghiệm x
$- 6 < m < 2$	2 nghiệm x
$m = - 6$	3 nghiệm x
$m < - 6$	4 nghiệm x

Kéo đường ngang m từ trên xuống: tới m = 2 chạm đầu mút t = 2 (một nghiệm x), rồi hai, đến m = −6 thì t = −2 xuất hiện thêm một nghiệm (ba), dưới −6 là bốn. Phần mờ |t| < 2 không được tính.

4. Đồ thị gốc: đường thẳng quét lên nửa parabol

Với $\sqrt{x + 2} = x + m$ , nửa parabol $y = \sqrt{x + 2}$ cố định, đường thẳng $y = x + m$ có hệ số góc $1$ và trượt lên xuống khi $m$ đổi. Khi $m$ rất lớn đường thẳng ở phía trên, không cắt; hạ dần xuống sẽ tiếp xúc ở một $m$ nào đó, sau đó cắt hai điểm, rồi khi đi qua đỉnh $(-2; 0)$ nửa parabol chỉ còn cắt một điểm. Đây là mô hình hình học của cách biện luận ở Ví dụ 1.

Tương tácThanh trượt m: ba phương trình

m

2,1

m = 2, 1 : x + 2 = x + m

có 2 nghiệm.

$m > \frac{9}{4}$	0 nghiệm
$m = \frac{9}{4}$	1 nghiệm
$2 \leq m < \frac{9}{4}$	2 nghiệm
$m < 2$	1 nghiệm

Chọn một phương trình, kéo m và nhìn dòng sáng của bảng nhảy hàng. Thử các nút giá trị biên (9/4, 2, 4, 0): đó là nơi số nghiệm đổi.

02Tóm tắt

Đặt ẩn phụ, ghi miền của $t$ , rồi chuyển "số nghiệm $x$ " thành "vị trí nghiệm $t$ ".
Căn bậc nhất: mỗi $t \ge 0$ cho đúng một $x$ . $t = x^2$ : $t > 0$ cho hai, $t = 0$ cho một. $t = x + 1/x$ : $\lvert t \rvert > 2$ cho hai, $= 2$ cho một.
Hai công cụ: $\Delta, S, P$ trên miền của $t$ , hoặc $m = g(t)$ và đường ngang $y = m$ .
Luôn xét riêng các giá trị biên của $m$ .

Tiếp theoPhương pháp →