Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và nghiệm

Một số sách viết vế phải là $0$: $ax + by + c < 0$ (đổi tên hằng số, không có gì khác). Ta luôn chuyển được qua lại: $2x - 3y + 6 \ge 0$ chính là $2x - 3y \ge -6$.

Chỉ cần một trong hai hệ số $a$, $b$ khác $0$. Vì vậy $x \ge -1$ (ở đây $a = 1$, $b = 0$) và $y < 4$ (ở đây $a = 0$, $b = 1$) vẫn là bất phương trình bậc nhất hai ẩn: hai ẩn cùng có mặt trong bài toán, chỉ là một ẩn có hệ số $0$.

Không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Biểu thức	Vì sao không
$x^2 + y < 3$	có $x^2$, bậc hai
$xy > 1$	tích hai ẩn, bậc hai
$0x + 0y \le 5$	$a = b = 0$, mất cả hai ẩn
$\dfrac1x + y \ge 2$	ẩn nằm ở mẫu

Hai điểm cần nhớ.

1. Thứ tự quan trọng. $(x_0;\,y_0)$ là cặp có thứ tự: $x_0$ thay cho $x$, $y_0$ thay cho $y$. Cặp $(1;\,3)$ và $(3;\,1)$ là hai nghiệm khác nhau (hoặc một cái là nghiệm, cái kia không).
2. Số nghiệm. Khác với bất phương trình một ẩn, bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm có thể vẽ lên mặt phẳng toạ độ, mỗi nghiệm là một điểm: đó là việc của bài sau.

Đặt $P(x;\,y) = ax + by - c$. Khi đó $(x_0;\,y_0)$ là nghiệm của $ax + by \le c$ đúng khi $P(x_0;\,y_0) \le 0$. Như vậy chỉ cần quan tâm dấu của $P$ tại điểm đang xét. Điều này sẽ trở thành chìa khoá ở bài sau: các điểm có $P = 0$ nằm trên một đường thẳng; các điểm có $P > 0$ nằm về một phía, các điểm có $P < 0$ nằm phía kia.

Có thể thấy ngay bằng cách cố định một ẩn. Với $2x - 3y + 6 \ge 0$:

Cố định $x$	Bất phương trình theo $y$	Nghiệm $y$
$x = 0$	$-3y + 6 \ge 0$	$y \le 2$
$x = 3$	$-3y + 12 \ge 0$	$y \le 4$
$x = -3$	$-3y \ge 0$	$y \le 0$

Với mỗi $x$ ta được một tia các giá trị $y$, mút của tia là điểm $\bigl(x;\ \tfrac{2x+6}{3}\bigr)$, tức điểm của đường thẳng $2x - 3y + 6 = 0$. Dấu "$\le$" ở đây nghĩa là $y$ nhỏ hơn hoặc bằng mút: toàn bộ phần phía dưới đường thẳng. (Chú ý: vì $-3 < 0$, khi chia cả hai vế cho $-3$ chiều bất đẳng thức đổi.)

Nội dung	Ghi nhớ
Dạng	$ax + by \ \square\ c$ với $\square \in \{<,\,>,\,\le,\,\ge\}$, $a$, $b$ không cùng bằng $0$
Nghiệm	cặp có thứ tự $(x_0;\,y_0)$ làm khẳng định đúng khi thay vào
Số nghiệm	vô số
Kiểm tra	thay số, tính vế trái, so sánh; hệ thì thoả mọi bất phương trình
Dấu "$=$"	chỉ nhận khi bất phương trình là $\le$ hoặc $\ge$
Lập bất phương trình	đặt ẩn, tìm đại lượng bị giới hạn, chọn $\le$ hay $\ge$ theo lời văn