Giao, hợp, hiệu, phần bù · Toán 10

Giao, hợp, hiệu và phần bù của các tập hợp

Tô vùng trên biểu đồ Ven

Mục tiêu

Nêu định nghĩa và biểu diễn bằng biểu đồ Ven của giao $A \cap B$ , hợp $A \cup B$ , hiệu $A \setminus B$ , phần bù $C_E A$ .
Thực hiện các phép toán trên tập liệt kê và trên khoảng, đoạn, nửa khoảng bằng trục số.
Xử lí đúng đầu mút mở và đóng ở điểm chung; làm với ba tập trở lên.

Khởi động

Lớp 10A có hai câu lạc bộ: Cờ vua và Bóng bàn. Cô chủ nhiệm hỏi bốn câu: (1) Những bạn nào tham gia cả hai câu lạc bộ? (2) Những bạn nào tham gia ít nhất một câu lạc bộ? (3) Những bạn nào chỉ chơi Cờ vua? (4) Những bạn nào không chơi Cờ vua? Bốn câu hỏi này tương ứng với bốn phép toán trên tập hợp ta sắp học, và bốn "cách tô màu" trên biểu đồ Ven.

01Kiến thức cần nhớ

Cho hai tập hợp $A$ và $B$ .

1. Giao của hai tập hợp

2. Hợp của hai tập hợp

"Hoặc" ở đây là "hoặc cả hai": phần tử thuộc cả $A$ lẫn $B$ cũng nằm trong hợp.

3. Hiệu của hai tập hợp

Hiệu không đối xứng: nói chung $A \setminus B \ne B \setminus A$ .

4. Phần bù

Phần bù chỉ nói được khi đã xác định rõ tập nền $E$ (tập "bao" mọi thứ đang xét).

Tương tácBốn phép toán, bốn cách tô

A \cap B = {x ∣ x \in A v a ˋ x \in B}

Chấm trong vùng tô:

{3; 4}

(2/9 chấm).

tự đoán

Chọn một phép toán rồi kéo hai vòng hoặc chín chấm. Bật tự đoán để tự nghĩ vùng được tô trước, rồi bấm Hiện đáp án.

5. Một số tính chất

$A \cap B = B \cap A$ , $A \cup B = B \cup A$ (giao hoán).
$A \cap \varnothing = \varnothing$ , $A \cup \varnothing = A$ , $A \setminus \varnothing = A$ .
Nếu $A \subset B$ thì $A \cap B = A$ , $A \cup B = B$ , $A \setminus B = \varnothing$ .
$A \setminus B$ và $A \cap B$ không có phần tử chung và hợp lại bằng $A$ .
Ba tập: $(A \cap B) \cap C$ viết gọn $A \cap B \cap C$ ; tương tự với hợp.

6. Làm với khoảng, đoạn, nửa khoảng

Với các tập là khoảng, đoạn, nửa khoảng của $\mathbb{R}$ , cách làm hiệu quả là vẽ trục số.

Mỗi tập vẽ trên một dòng riêng, đánh dấu đầu mút bằng chấm đặc hoặc chấm rỗng.
Kẻ các đường thẳng đứng qua các đầu mút để "đọc" mọi vị trí.
Với mỗi đoạn giữa hai đầu mút liên tiếp, xem nó thuộc những tập nào; kết hợp theo định nghĩa phép toán.
Với từng đầu mút, xét riêng: điểm đó có thuộc từng tập hay không, rồi xét theo phép toán (giao cần thuộc cả hai; hợp cần thuộc một; hiệu cần thuộc tập đầu mà không thuộc tập sau).

Tương tácPhép toán trên các trục số

Ví dụ có sẵn: thêm tập C = (0; 3]

Phép toán:

A

B

A = [- 2; 3), B = (1; 5]

A \cap B = (1; 3)

Xét riêng từng đầu mút:

- 2 \in A, - 2 \in / B \Rightarrow - 2 \in / A \cap B

1 \in A, 1 \in / B \Rightarrow 1 \in / A \cap B

3 \in / A, 3 \in B \Rightarrow 3 \in / A \cap B

5 \in / A, 5 \in B \Rightarrow 5 \in / A \cap B

Kéo các đầu mút, bấm đổi đặc hoặc rỗng, rồi nhìn dòng kết quả. Bảng dưới trục xét từng đầu mút: sai sót thường nằm đúng ở điểm chạm đóng hoặc mở.

02Tóm tắt

Phép toán	Kí hiệu	Điều kiện của $x$
Giao	$A \cap B$	$x \in A$ và $x \in B$
Hợp	$A \cup B$	$x \in A$ hoặc $x \in B$
Hiệu	$A \setminus B$	$x \in A$ và $x \notin B$
Phần bù của $A \subset E$	$C_E A$	$x \in E$ và $x \notin A$

Với khoảng: vẽ trục số mỗi tập một dòng, xét riêng từng đầu mút.

03Mở rộng

Tính chất phân phối. $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ và $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ .

Công thức bù (De Morgan). Với $A, B \subset E$ : $C_E(A \cup B) = C_E A \cap C_E B$ và $C_E(A \cap B) = C_E A \cup C_E B$ . Ví dụ với $A = [-2; 3)$ , $B = (1; 5]$ ở Ví dụ 2: $A \cup B = [-2; 5]$ nên $C_{\mathbb{R}}(A \cup B) = (-\infty; -2) \cup (5; +\infty)$ . Còn $C_{\mathbb{R}} A \cap C_{\mathbb{R}} B = \big((-\infty; -2) \cup [3; +\infty)\big) \cap \big((-\infty; 1] \cup (5; +\infty)\big) = (-\infty; -2) \cup (5; +\infty)$ , hai kết quả trùng nhau.

Tiếp theoPhương pháp →