Giải tam giác

0, 1 hay 2 nghiệm

Mục tiêu

Biết "giải tam giác" là tìm đủ ba cạnh, ba góc từ ba yếu tố đã cho (trong đó có ít nhất một cạnh).
Chọn đúng định lí cho từng trường hợp: c.g.c, c.c.c, g.c.g, và hai cạnh cùng một góc không xen giữa.
Xử lí trường hợp hai cạnh và một góc đối diện: có thể có hai tam giác, một tam giác, hoặc không có tam giác nào.

Khởi động

Ba góc của một tam giác không đủ để biết tam giác: phóng to hay thu nhỏ đều giữ nguyên góc. Nhưng chỉ cần thêm một cạnh, mọi thứ được xác định. Vậy với ba yếu tố bất kì (có ít nhất một cạnh), có phải lúc nào cũng tìm được đúng một tam giác? Câu trả lời là "gần như", và chỗ "gần như" đó là nội dung thú vị nhất của bài.

01Kiến thức cần nhớ

1. Bốn trường hợp và công cụ tương ứng

Đã biết	Bước đầu tiên	Số tam giác
Hai cạnh và góc xen giữa (c.g.c)	Định lí côsin tính cạnh thứ ba	đúng 1
Ba cạnh (c.c.c)	Hệ quả định lí côsin tính các góc	1 nếu thoả bất đẳng thức tam giác, 0 nếu không
Một cạnh và hai góc (g.c.g hoặc g.g.c)	Tổng ba góc, rồi định lí sin	1 nếu tổng hai góc nhỏ hơn $180^\circ$
Hai cạnh và góc đối diện một trong hai cạnh	Định lí sin tính $\sin$ của góc thứ hai	0, 1 hoặc 2

2. Tính góc: côsin an toàn hơn sin

Côsin phân biệt được góc nhọn và góc tù (dấu âm hay dương), còn sin thì không. Vì vậy khi đã biết đủ ba cạnh:

3. Trường hợp hai cạnh và một góc không xen giữa

Cho $a$ , $b$ và góc $A$ (đối diện $a$ ). Ta tìm $B$ từ $\sin B = \dfrac{b\sin A}{a}$ .

Hình dung: dựng góc $A$ , trên một cạnh của góc lấy $C$ với $AC = b$ . Đỉnh $B$ phải nằm trên cạnh còn lại của góc và cách $C$ một khoảng $a$ , tức là giao của cạnh đó với đường tròn tâm $C$ bán kính $a$ . Đặt $h = b\sin A$ là khoảng cách từ $C$ tới cạnh còn lại.

Tương tácHai cạnh và góc không xen giữa

a = 4,2 A = 40° b = 5,5

h = b sin A = 3, 54

S o ˆ ˊ tam gi a ˊ c: 2

B_{1} \approx 12 3^{\circ}, B_{2} \approx 5 7^{\circ}

a < h \Rightarrow 0

a = h \Rightarrow 1, vu o ˆ ng tại B

h < a < b \Rightarrow 2

a \geq b \Rightarrow 1

Đổi a, A, b: số giao điểm của đường tròn với tia là số tam giác; dòng đúng của bảng sáng lên.

Khi $A$ nhọn:

So sánh	Số tam giác
$a < h$	0 (đường tròn không chạm tới)
$a = h$	1, vuông tại $B$
$h < a < b$	2 (đường tròn cắt cạnh tại hai điểm)
$a \ge b$	1

Khi $A$ vuông hoặc tù: có đúng 1 tam giác nếu $a > b$ , không có nếu $a \le b$ (cạnh đối diện góc lớn nhất phải lớn nhất).

02Tóm tắt

c.g.c → côsin tính cạnh; c.c.c → côsin tính góc; một cạnh hai góc → sin tính cạnh.
Tính góc: ưu tiên côsin; nếu dùng sin thì cho góc đối diện cạnh nhỏ hơn.
Hai cạnh và góc không xen giữa: tính $\sin B$ , xét cả $B$ và $180^\circ - B$ ; có thể 0, 1 hoặc 2 tam giác.
Làm tròn ở bước cuối.

Tiếp theoPhương pháp →