Phương trình vô tỉ không mẫu mực

Liên hợp, đơn điệu, đánh giá

Mục tiêu

Nhận ra khi nào bình phương hay đặt ẩn phụ không còn hiệu quả, và chuyển sang ba công cụ: nhân liên hợp, tính đơn điệu, đánh giá hai vế.
Dự đoán nghiệm "đẹp", dùng nhân liên hợp tách nhân tử $(x - x_0)$ và chứng minh phần còn lại không có thêm nghiệm.
Dùng bất đẳng thức đơn giản (tổng bình phương, $(a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2)$ ) để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất tại điểm xảy ra dấu bằng.

Khởi động

Giải $x^3 + \sqrt{x - 1} = 9$ .

Bình phương không giúp được: chuyển $\sqrt{x - 1} = 9 - x^3$ rồi bình phương cho bậc sáu. Thử số: $x = 1$ cho $1 + 0 = 1$ , $x = 2$ cho $8 + 1 = 9$ . Có vẻ $x = 2$ là nghiệm. Hơn nữa khi $x$ tăng thì $x^3$ tăng và $\sqrt{x - 1}$ cũng tăng, nên vế trái chỉ có thể đi lên: nó nhận giá trị $9$ đúng một lần. Ý "đoán nghiệm rồi chứng minh không còn nghiệm nào khác" là cốt lõi của bài này.

01Kiến thức cần nhớ

1. Nhân liên hợp

Quy trình điển hình: đoán $x_0$ ; nhóm mỗi căn với một số (ví dụ $\sqrt{x + 4} - 3$ khi $x_0 = 5$ ); nhân liên hợp từng nhóm; đặt $(x - x_0)$ làm nhân tử chung; chứng minh nhân tử còn lại khác $0$ trên ĐKXĐ.

2. Tính đơn điệu

Hàm $f$ gọi là đồng biến (tăng ngặt) trên khoảng $K$ nếu $x_1 < x_2$ thì $f(x_1) < f(x_2)$ . Tổng của hai hàm đồng biến là hàm đồng biến. Các hàm hay gặp: $\sqrt{x + a}$ , $x^3$ , $2x + b$ đồng biến; $-\sqrt{x + a}$ nghịch biến.

Lí do: nếu $f(a) = f(b)$ với $a \ne b$ , chẳng hạn $a < b$ , thì $f(a) < f(b)$ (đồng biến), mâu thuẫn.

Tương tự, nếu $f$ đồng biến còn $g$ nghịch biến thì $f(x) = g(x)$ có nhiều nhất một nghiệm.

Tương tácĐồng biến thì nhiều nhất một nghiệm

f (x) = x^{3} + x - 1

f (x) = 9

có 1 nghiệm (

x \approx 2

Giá trị nhỏ nhất

f (1) = 1

: mức

k \geq 1

cắt đúng một lần, dưới đó không cắt.

k

Kéo mức k lên xuống với từng hàm: đường ngang không bao giờ cắt hai lần. Bật “Thêm hàm giảm” để thấy f = c − x (tăng gặp giảm) cũng chỉ một giao điểm, kể cả khi kéo c.

3. Đánh giá hai vế

Nếu có hai vế sao cho $\text{VT} \le M \le \text{VP}$ với mọi $x$ thì phương trình $\text{VT} = \text{VP}$ chỉ có nghiệm khi cả hai vế bằng $M$ cùng lúc. Các đánh giá hay dùng:

Tương tácHai vế chạm nhau

x - 1 + 3 - x = (x - 2)^{2} + 2

Chạm nhau đúng một điểm

(2; 2)

: một nghiệm

x = 2

Vế trái

\leq 2

(dấu bằng ở

x = 2

), vế phải

\geq 2

(dấu bằng ở

x = 2

c 0

Với c = 0 vòm và parabol chạm đúng tại (2; 2). Kéo c lên một chút: tách rời, vô nghiệm. Kéo c xuống: parabol hạ thấp và cắt vòm tại hai điểm.

02Tóm tắt

Ba công cụ: nhân liên hợp (tách $x - x_0$ ), đơn điệu (nhiều nhất một nghiệm), đánh giá (dấu bằng cùng lúc).
Bước bắt buộc: đoán nghiệm rồi chứng minh không còn nghiệm khác.
Nhân liên hợp: $\sqrt{A} - \sqrt{B} = \dfrac{A - B}{\sqrt A + \sqrt B}$ .
$(\sqrt a + \sqrt b)^2 \le 2(a + b)$ , dấu bằng khi $a = b$ .

03Mở rộng

Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz. Với số thực $a_1, a_2, b_1, b_2$ : $(a_1b_1 + a_2b_2)^2 \le (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)$ , dấu bằng khi $a_1/b_1 = a_2/b_2$ . Chọn $a_1 = \sqrt{a}$ , $a_2 = \sqrt{b}$ , $b_1 = b_2 = 1$ được đánh giá $(\sqrt a + \sqrt b)^2 \le 2(a + b)$ dùng ở trên. Các đề học sinh giỏi còn dùng nó với hệ số khác nhau để đánh giá $\alpha\sqrt{a} + \beta\sqrt{b}$ .

Tiếp theoPhương pháp →