Điểm và tập hợp điểm · Toán 10

Xác định điểm và tập hợp điểm thoả hệ thức vectơ

Trọng tâm có trọng số

Mục tiêu

Từ một hệ thức vectơ, chỉ ra chính xác vị trí của điểm cần tìm (dựng được bằng thước).
Thu gọn tổng có hệ số $\alpha\overrightarrow{MA} + \beta\overrightarrow{MB} + \dots$ về một vectơ.
Tìm tập hợp điểm $M$ thoả một đẳng thức về độ dài vectơ: đường tròn, đường trung trực, một điểm.

Khởi động

Hai người kéo một sợi dây buộc vào cột ở hai đầu $A$ và $B$ ; người thứ nhất khoẻ gấp đôi người thứ hai. Muốn treo vật ở điểm "cân bằng" trên dây, ta phải đặt nó gần ai hơn? Câu hỏi kiểu "điểm $I$ nào thoả $2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec 0$ " chính là phiên bản vectơ của câu hỏi đó.

01Kiến thức cần nhớ

1. Điểm "trọng tâm có trọng số"

Chứng minh: chèn $A$ vào $\overrightarrow{IB}$ : $\alpha\overrightarrow{IA} + \beta\left(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB}\right) = \vec 0$ , tức $(\alpha + \beta)\overrightarrow{AI} = \beta\overrightarrow{AB}$ .

Với ba điểm, tương tự: nếu $\alpha + \beta + \gamma \ne 0$ thì điểm $I$ thoả $\alpha\overrightarrow{IA} + \beta\overrightarrow{IB} + \gamma\overrightarrow{IC} = \vec 0$ là duy nhất, với

\overrightarrow{AI} = \frac{\beta\overrightarrow{AB} + \gamma\overrightarrow{AC}}{\alpha + \beta + \gamma}.

Trung điểm ( $\alpha = \beta = 1$ ) và trọng tâm ( $\alpha = \beta = \gamma = 1$ ) là hai trường hợp riêng.

Tương tácĐiểm có trọng số

α + β + γ = 3

A I = 0, 33 A B + 0, 33 A C

α = 1 β = 1 γ = 1

Đặt α, β, γ: điểm I luôn nằm ở một chỗ duy nhất (khi tổng khác 0); hệ số âm đẩy I ra ngoài tam giác.

2. Thu gọn tổng có hệ số

Chứng minh: chèn $I$ vào cả ba vectơ, phần $\alpha\overrightarrow{IA} + \beta\overrightarrow{IB} + \gamma\overrightarrow{IC}$ bằng $\vec 0$ . Khi tổng hệ số bằng 0, chèn một điểm cố định bất kì (ví dụ $A$ ): phần chứa $\overrightarrow{MA}$ có hệ số $\alpha + \beta + \gamma = 0$ nên biến mất.

Tương tácVectơ không phụ thuộc M

α + β + γ = 0, 5 + (- 1) + 0, 5 = 0

w = (- 5, 5; 2, 5)

M =

(1; 0, 5)

● Tổng hệ số bằng 0: w không đổi khi kéo M

α = 0,5 β = -1 γ = 0,5

Giữ α + β + γ = 0 rồi kéo M: vectơ w đứng yên. Tắt nút, đặt tổng khác 0, và w bắt đầu chạy theo M.

3. Tập hợp điểm cơ bản

Điều kiện ( $I$ , $J$ , $\vec u$ cố định, $R > 0$ )	Tập hợp điểm $M$
$IM = R$	đường tròn tâm $I$ bán kính $R$
$MI = MJ$ ( $I \ne J$ )	đường trung trực của đoạn $IJ$
$\overrightarrow{IM} = \vec u$	một điểm
$\overrightarrow{IM} = k\vec u$ , $k$ thay đổi	đường thẳng qua $I$ cùng phương $\vec u$

Tương tácTập hợp điểm: kéo M, để lại vết

∣ M A + M B ∣ = 0, k = 0

○ M thoả hệ thức

Tập hợp: đường tròn tâm I (trung điểm AB), bán kính k/2.

k = 4

Kéo M sao cho hệ thức đúng (đèn sáng) để thấy các chấm xếp thành đường tròn hay đường thẳng; bấm “Hiện đáp án” để đối chiếu.

02Tóm tắt

$\alpha\overrightarrow{IA} + \beta\overrightarrow{IB} = \vec 0 \iff \overrightarrow{AI} = \dfrac{\beta}{\alpha + \beta}\overrightarrow{AB}$ (cần $\alpha + \beta \ne 0$ ).
Tổng hệ số khác 0: $\sum\alpha\overrightarrow{MA} = \left(\sum\alpha\right)\overrightarrow{MI}$ . Tổng hệ số bằng 0: tổng là vectơ hằng.
Tập hợp điểm: thu gọn → lấy độ dài → so với đường tròn, trung trực.

Tiếp theoPhương pháp →