Tập hợp và cách xác định tập hợp

Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học (không định nghĩa bằng khái niệm khác), hiểu là một nhóm đối tượng xác định, mỗi đối tượng gọi là một phần tử của tập hợp. Tập hợp thường được kí hiệu bằng chữ in hoa $A$, $B$, $X$, …

• $a \in A$: $a$ là phần tử của $A$ ($a$ thuộc $A$).
• $a \notin A$: $a$ không là phần tử của $A$ ($a$ không thuộc $A$).
• $n(A)$: số phần tử của tập hữu hạn $A$ (có sách viết $\lvert A \rvert$).
• Tập rỗng $\varnothing$: tập không có phần tử nào, $n(\varnothing) = 0$.

Mỗi phần tử chỉ được tính một lần, và thứ tự liệt kê không quan trọng: $\{1; 2; 3\} = \{3; 1; 2\}$.

Cách 1. Liệt kê các phần tử. Viết các phần tử giữa hai dấu ngoặc nhọn, cách nhau bởi dấu chấm phẩy:

$$A = \{0; 1; 2; 3; 4\}.$$

Cách 2. Nêu tính chất đặc trưng. Chỉ ra một tính chất mà các phần tử của tập có và chỉ chúng có:

$$A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\}.$$

Đọc: "$A$ là tập hợp các số tự nhiên $x$ sao cho $x < 5$". Phần trước dấu $\mid$ cho biết $x$ chạy trong tập nào, phần sau là điều kiện.

Cách thứ hai bắt buộc khi tập có vô hạn phần tử hoặc quá nhiều để liệt kê (ví dụ tập các số thực lớn hơn $2$).

Biểu đồ Ven. Ta còn vẽ một vòng kín (hoặc hình phẳng bất kì) tượng trưng cho tập hợp, mỗi phần tử là một chấm bên trong vòng. Cách vẽ này giúp nhìn rõ quan hệ giữa các tập hợp ở các bài sau.

Trong chương trình hiện hành của Việt Nam, $\mathbb{N}$ có số $0$.

Số hữu tỉ là số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn (như $0{,}25$; $0{,}\overline{3}$). Số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn (như $\sqrt 2$, $\pi$). Các tập số lồng nhau:

$$\mathbb{N}^* \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.$$

(Kí hiệu $\subset$ sẽ được học kĩ ở bài sau.)