Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo, mệnh đề tương đương

Bảng giá trị (Đ: đúng, S: sai):

Như lời hứa ở phần khởi động: nếu $P$ ("đạt trên $8$") sai thì lời hứa không bị vi phạm dù $Q$ ("có dã ngoại") thế nào, nên hai dòng cuối là "đúng".

Trong toán học, định lí là mệnh đề kéo theo đúng $P \Rightarrow Q$, trong đó $P$ là giả thiết, $Q$ là kết luận.

Khi $P \Rightarrow Q$ là mệnh đề đúng, ta nói:

• $P$ là điều kiện đủ để có $Q$ (chỉ cần $P$ đúng là chắc chắn $Q$ đúng);
• $Q$ là điều kiện cần để có $P$ (muốn $P$ đúng thì bắt buộc $Q$ phải đúng).

Ví dụ: "Nếu $a$ chia hết cho $6$ thì $a$ chia hết cho $3$." Chia hết cho $6$ là đủ để chia hết cho $3$; chia hết cho $3$ là cần để chia hết cho $6$ (nhưng chưa đủ: $a = 3$).

Cách nhớ: cái đứng ở đầu mũi tên ($P$, vế mạnh hơn) là đủ; cái ở ngọn mũi tên ($Q$, vế yếu hơn) là cần.

Ví dụ: "Nếu tứ giác là hình thoi thì hai đường chéo của nó vuông góc" là đúng; đảo của nó "Nếu tứ giác có hai đường chéo vuông góc thì nó là hình thoi" là sai (hình "cái diều" có hai đường chéo vuông góc nhưng không là hình thoi). Một ví dụ như vậy gọi là phản ví dụ.

$P \Leftrightarrow Q$ đúng khi $P$ và $Q$ cùng đúng hoặc cùng sai; sai khi một đúng một sai.

Ví dụ: "Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi và chỉ khi $BC^2 = AB^2 + AC^2$" (định lí Pi-ta-go cùng định lí đảo). Ví dụ khác: với số nguyên $n$, "$n$ chẵn khi và chỉ khi $n^2$ chẵn".

$P \Rightarrow Q$ sai đúng khi "$P$ đúng và $Q$ sai". Vì vậy phủ định của "Nếu $P$ thì $Q$" là "$P$ và không $Q$". Ví dụ phủ định của "Nếu $a$ chia hết cho $6$ thì $a$ chia hết cho $3$" là "$a$ chia hết cho $6$ và $a$ không chia hết cho $3$", mệnh đề này sai với mọi $a$.

$P \Rightarrow Q$ đúng: $P$ là điều kiện đủ cho $Q$; $Q$ là điều kiện cần cho $P$.