Chứng minh hệ thức, nhận dạng tam giác · Toán 10

Chứng minh hệ thức và nhận dạng tam giác

Dịch góc sang cạnh

Mục tiêu

Chứng minh một đẳng thức giữa cạnh và góc của tam giác bằng cách "dịch" mọi thứ sang cùng một ngôn ngữ: toàn cạnh, hoặc toàn sin.
Từ một hệ thức cho trước, kết luận tam giác cân, vuông, đều, hay vừa cân vừa vuông.
Tránh hai lỗi kinh điển: chia cho biểu thức có thể bằng 0 và kết luận thiếu trường hợp.

Khởi động

Một tam giác có tính chất $b\cos C = c\cos B$ . Hình dạng của nó thế nào? Đọc qua chẳng thấy gì đặc biệt. Nhưng nếu thay mỗi côsin bằng biểu thức theo cạnh (định lí côsin), hệ thức sẽ "lộ" ra một điều rất đơn giản. Bài này dạy cách làm cho hệ thức tự lộ ra như vậy.

01Kiến thức cần nhớ

1. Bộ từ điển "góc ↔ cạnh"

Muốn thay	Bằng	Từ đâu
$\sin A$	$\dfrac{a}{2R}$	định lí sin
$a$	$2R\sin A$	định lí sin
$\cos A$	$\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$	định lí côsin
$S$	$\dfrac12 bc\sin A$ , $\dfrac{abc}{4R}$ , $pr$ , Hê-rông	công thức diện tích
$m_a^2$	$\dfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$	công thức trung tuyến

2. Quan hệ giữa ba góc

Vì $A + B + C = 180^\circ$ nên $A$ và $B + C$ bù nhau. Theo quan hệ góc bù:

\sin A = \sin(B + C), \qquad \cos A = -\cos(B + C),

và tương tự khi đổi vai trò các góc. Ngoài ra $\dfrac{A}{2}$ và $\dfrac{B + C}{2}$ phụ nhau, nên $\sin\dfrac{A}{2} = \cos\dfrac{B + C}{2}$ .

3. Dấu hiệu nhận dạng

Hệ thức thu được	Kết luận
$a = b$ (hoặc $A = B$ )	cân tại $C$
$a^2 = b^2 + c^2$	vuông tại $A$
$a = b = c$	đều
$(a - b)(a^2 + b^2 - c^2) = 0$	cân tại $C$ hoặc vuông tại $C$

Tương tácMáy nhận dạng tam giác

b cos C - c cos B = - 2, 2

a^{2} - b^{2} - c^{2} = - 6, 74

a - b = 1, 78

b - c = - 1, 4

Tam giác: thường (chưa có dạng đặc biệt)

Kéo A (hoặc dùng phím mũi tên). A tự dính vào các vị trí đặc biệt; khi một hiệu bằng 0 thì dạng tam giác tương ứng sáng lên.

02Tóm tắt

Đổi hệ thức về một ngôn ngữ: toàn cạnh (thường gọn) hoặc toàn sin.
Định lí sin đổi sin ↔ cạnh; định lí côsin đổi côsin → cạnh; $A$ và $B + C$ bù nhau.
Nhận dạng: phân tích thành nhân tử, không chia; kết luận đủ mọi trường hợp.

03Mở rộng

Định lí hình chiếu. $a = b\cos C + c\cos B$ (tương tự cho $b$ , $c$ ). Ý hình học: khi $B$ , $C$ nhọn, chân đường cao từ $A$ chia $BC$ thành hai đoạn $c\cos B$ và $b\cos C$ . Chứng minh đại số: thay côsin theo cạnh, $\dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2a} + \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2a} = a$ .

Tổng các côtang. Từ $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ và $\sin A = \dfrac{2S}{bc}$ :

\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4S} \quad\Rightarrow\quad \cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4S}.

Tiếp theoPhương pháp →