Định lí côsin

Trong tam giác $ABC$, ta viết $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ (cạnh mang tên chữ thường của đỉnh đối diện), và $A, B, C$ cũng dùng để chỉ số đo các góc $\widehat{BAC}, \widehat{ABC}, \widehat{ACB}$.

Hệ quả (tính góc từ ba cạnh):

Đặt tam giác vào hệ trục: $A$ trùng gốc $O$, tia $AC$ trùng tia $Ox$. Khi đó $C(b; 0)$.

Điểm $B$ cách $A$ một đoạn $c$ và tia $AB$ tạo với $Ox$ góc $A$. Phóng to nửa đường tròn đơn vị lên $c$ lần, ta được toạ độ $B(c\cos A;\ c\sin A)$. Điều này đúng cả khi $A$ tù (lúc đó $c\cos A < 0$, điểm $B$ nằm bên trái trục tung).

Theo công thức khoảng cách hai điểm:

Hai công thức còn lại có được bằng cách đổi vai trò các đỉnh. Ở chương Vectơ, em sẽ gặp một chứng minh khác rất gọn bằng tích vô hướng (Ứng dụng của tích vô hướng).

• Nếu $A = 90^\circ$ thì $\cos A = 0$ và định lí trở thành $a^2 = b^2 + c^2$.
• Nếu $A$ nhọn, $\cos A > 0$, ta trừ đi một lượng dương: $a^2 < b^2 + c^2$.
• Nếu $A$ tù, $\cos A < 0$, ta thực chất cộng thêm: $a^2 > b^2 + c^2$.

• $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ (tương tự cho $b^2$, $c^2$).
• $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
• Biết c.g.c → tính cạnh thứ ba; biết c.c.c → tính góc.
• Dấu của $b^2 + c^2 - a^2$ cho biết $A$ nhọn, vuông hay tù.