Định lí sin

Ta chứng minh $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$; hai đẳng thức còn lại tương tự. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, vẽ đường kính $BD$ (độ dài $2R$). Tam giác $BCD$ nội tiếp nửa đường tròn nên vuông tại $C$, suy ra $BC = BD\sin\widehat{BDC}$, tức $a = 2R\sin\widehat{BDC}$.

• Nếu $A$ nhọn: $D$ và $A$ nằm cùng phía đối với $BC$, hai góc nội tiếp $\widehat{BDC}$ và $\widehat{BAC}$ cùng chắn cung $BC$ nên bằng nhau. Vậy $a = 2R\sin A$.
• Nếu $A$ tù: $D$ và $A$ nằm khác phía đối với $BC$, tứ giác $ABDC$ nội tiếp nên $\widehat{BDC} = 180^\circ - A$, và $\sin(180^\circ - A) = \sin A$. Vẫn có $a = 2R\sin A$.
• Nếu $A = 90^\circ$: $BC$ là đường kính, $a = 2R = 2R\sin 90^\circ$.

Điều thú vị: chứng minh dùng đúng quan hệ góc bù $\sin(180^\circ - A) = \sin A$ của bài 1. Đây là lí do ta cần sin của góc tù.

• Tỉ lệ: $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$.
• Trong một tam giác: $a > b \iff \sin A > \sin B \iff A > B$ (cạnh lớn hơn đối diện góc lớn hơn).

• $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$.
• Biết một cạnh và hai góc → tính các cạnh còn lại; biết một cạnh và góc đối → tính $R$.
• Tính góc bằng sin: luôn cân nhắc cả $B$ và $180^\circ - B$.
• Cạnh lớn hơn đối diện góc lớn hơn.