Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Cách nhớ ngắn: "trong trái, ngoài cùng", nghĩa là trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với $a$, ngoài khoảng thì cùng dấu với $a$. Hai trường hợp còn lại là "luôn cùng dấu $a$" (có thể trừ một điểm).

Ta cũng dùng được $\Delta'$ thay cho $\Delta$, vì cùng dấu.

Từ bài 1: $f(x) = a\left[\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$. Gọi $A = \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 \ge 0$ và $D = \dfrac{\Delta}{4a^2}$ (cùng dấu $\Delta$).

• $\Delta < 0$: $D < 0$ nên $A - D > 0$ với mọi $x$; do đó $f = a(A - D)$ cùng dấu $a$.
• $\Delta = 0$: $D = 0$, $A - D = A \ge 0$ và chỉ bằng $0$ tại $x = -\dfrac{b}{2a}$. Vậy $f$ cùng dấu $a$ trừ điểm đó.
• $\Delta > 0$: $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$. Nếu $x$ nằm ngoài $[x_1; x_2]$ thì hai nhân tử $x - x_1$, $x - x_2$ cùng dấu nên tích dương, $f$ cùng dấu $a$. Nếu $x$ nằm giữa thì $x - x_1 > 0$ và $x - x_2 < 0$ nên tích âm, $f$ trái dấu $a$.

Dấu của $f(x)$ chính là vị trí của parabol $y = f(x)$ so với trục $Ox$: dương ở nơi đồ thị nằm trên $Ox$, âm ở nơi nằm dưới $Ox$. Hệ số $a$ cho biết bề lõm: $a > 0$ quay lên, $a < 0$ quay xuống. Sáu trường hợp (hai dấu của $a$, ba dấu của $\Delta$) là sáu hình sau.

Với $\Delta > 0$, nghiệm $x_1 < x_2$:

Với $\Delta = 0$ (nghiệm kép $x_0$): $a > 0$ cho $+\;0\;+$, $a < 0$ cho $-\;0\;-$ (dấu không đổi khi đi qua $x_0$). Với $\Delta < 0$: một dấu duy nhất (dấu của $a$) trên cả $\mathbb{R}$.

• Dấu ở "rất xa". Khi $x$ rất lớn (dương hoặc âm), $ax^2$ lấn át, nên $f$ cùng dấu $a$. Do đó dấu ngoài cùng hai đầu luôn là dấu của $a$.
• $ac < 0$ thì có hai nghiệm trái dấu. Khi đó $\Delta = b^2 - 4ac > 0$ (vì $-4ac > 0$), nên có hai nghiệm, và tích nghiệm $\dfrac{c}{a} < 0$. Hơn nữa $f(0) = c$ trái dấu $a$, nên $0$ nằm giữa hai nghiệm, khớp quy tắc "trong trái".

• Dấu ngoài cùng hai đầu luôn là dấu của $a$.
• Nghiệm đơn đổi dấu, nghiệm kép không đổi dấu.
• Dấu của $f$ = vị trí parabol trên hay dưới $Ox$.