Đồ thị hàm số

01Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa đồ thị

Từ đó có hai chiều của cùng một điều kiện:

Nói bằng lời: "đứng ở $x_0$ , độ cao của đồ thị ở đó chính là $f(x_0)$ ". Đây là câu thần chú cho cả bài.

Tương tácKéo M dọc đồ thị

y = x^{2} - 2 x, D = R

M (x_{0}; y_{0}) = (2, 5; \frac{5}{4}), y_{0} = f (x_{0})

x₀ 2,5

Kéo M: x₀ và y₀ đổi, luôn có y₀ = f(x₀). Với y = √(x − 1) hay y = 1/x, thử x₀ ngoài tập xác định: không còn điểm nào của đồ thị.

2. Không phải đường nào cũng là đồ thị hàm số

Mỗi $x \in D$ cho đúng một $y$ , nên đồ thị không thể có hai điểm cùng hoành độ mà khác tung độ. Kết luận hình học:

Đường tròn $x^2 + y^2 = 1$ không là đồ thị hàm số (đường $x = 0$ cắt nó tại $(0; 1)$ và $(0; -1)$ ). Nhưng nửa đường tròn phía trên thì là đồ thị của hàm $y = \sqrt{1 - x^2}$ .

Tương tácPhép thử đường thẳng đứng

x = a = 0, 5 : s o ˆ ˊ giao đ iểm = 1

cắt tại một điểm

Chưa thấy đường thẳng đứng nào cắt hai điểm. Kéo thử khắp nơi: nếu không bao giờ có thì đây là đồ thị hàm số.

Đường x = a 0,5

Kéo đường x = a khắp nơi. Đường dạng sin và nửa đường tròn không bao giờ bị cắt hai lần. Đường tròn và parabol nằm ngang thì có chỗ bị cắt tại hai điểm.

3. Vẽ đồ thị bằng bảng giá trị

Tìm tập xác định $D$ .
Lập bảng giá trị: chọn vài số $x$ trong $D$ (nhớ chọn các số "đẹp", gồm cả số âm, $0$ , và các điểm gần chỗ hàm có gì đặc biệt), tính $y = f(x)$ .
Chấm các điểm $(x; y)$ , nối bằng nét liền theo đúng dạng đã biết. Chỉ nối liền khi biết hàm "không nhảy" trên khoảng ấy.

Một số đồ thị quen thuộc cần nhớ hình dạng:

Hàm số	Hình dạng
$y = ax + b$	đường thẳng, đi qua $(0; b)$
$y = \lvert x \rvert$	hai tia từ gốc, hình chữ V, đối xứng qua $Oy$
$y = x^2$	parabol, đỉnh ở gốc (chi tiết ở chương Hàm số bậc hai)
$y = \dfrac{1}{x}$	hai nhánh, đối xứng qua gốc $O$ , tiệm cận là hai trục
$y = \sqrt{x}$	nửa parabol nằm ngang, xuất phát từ gốc

y = 2x − 1

y = |x|

y = x²

y = 1/x

y = √x

Năm đồ thị mẫu cần nhớ hình dạng: đường thẳng, chữ V, parabol, hai nhánh hyperbol (hai trục là tiệm cận) và nửa parabol nằm ngang.

4. Đồ thị của hàm nhiều công thức

Vẽ từng nhánh trên khoảng của nó, rồi ghép lại. Ở đầu mút của mỗi nhánh:

nếu nhánh lấy giá trị đầu mút (dấu $\le$ , $\ge$ ) thì chấm đặc $\bullet$ ;
nếu nhánh không lấy (dấu $<$ , $>$ ) thì chấm rỗng $\circ$ .

Mỗi $x$ phải rơi vào đúng một nhánh, nên với hàm số thật sự, tại mỗi hoành độ có đúng một chấm đặc.

g(x) = 3x − 1 nếu x < 2; x² − 3 nếu x ≥ 2. Tại x = 2: chấm rỗng (2; 5) của nhánh trái, chấm đặc (2; 1) của nhánh phải. Hàm “nhảy” từ 5 xuống 1.

5. Đọc thông tin từ đồ thị

Với đồ thị cho trước:

Muốn biết	Làm thế nào
$f(a)$	gióng từ $x = a$ lên đồ thị, rồi sang trục $Oy$
các $x$ để $f(x) = k$	kẻ đường ngang $y = k$ , các giao điểm với đồ thị cho các hoành độ cần tìm
tập xác định $D$	chiếu đồ thị lên $Ox$
tập giá trị $T$	chiếu đồ thị lên $Oy$
giao với $Oy$	điểm có $x = 0$ : $(0; f(0))$
giao với $Ox$	các điểm có $y = 0$ : nghiệm của $f(x) = 0$
$f(x) > 0$	những $x$ mà đồ thị nằm phía trên $Ox$

Từ đây ta có hình mẫu đồ thị $(C)$ dùng xuyên suốt chương: đường gấp khúc nối liền các điểm $A(-3; 1)$ , $B(-1; -2)$ , $C(1; 2)$ , $E(3; 0)$ theo thứ tự đó.

Tương tácĐọc đồ thị (C)

x = a = 2 : f (a) = 1

y = k = 1 : f (x) = 1

\Rightarrow x \in {- 3; \frac{1}{2}; 2} (3 nghiệm)

D = [- 3; 3], T = [- 2; 2]

a 2k 1

Kéo đường ngang y = k: đếm giao điểm, đọc nghiệm của f(x) = k (k = 1 cho ba nghiệm −3; 1/2; 2). Kéo k ra ngoài [−2; 2]: vô nghiệm. Kéo đường đứng x = a ra ngoài [−3; 3]: không có f(a).

02Tóm tắt

Đồ thị của $y = f(x)$ : tập mọi điểm $(x; f(x))$ , $x \in D$ . $M(x_0; y_0)$ thuộc đồ thị $\Leftrightarrow$ $x_0 \in D$ và $y_0 = f(x_0)$ .
Một đường là đồ thị hàm số $\Leftrightarrow$ mọi đường thẳng đứng cắt nó không quá một điểm.
Từ đồ thị đọc được $f(a)$ , nghiệm $f(x) = k$ , $D$ , $T$ , giao với hai trục, dấu của $f$ .
Hàm nhiều công thức: vẽ từng nhánh, chú ý chấm đặc/rỗng ở đầu mút.
Tìm tham số: thế đúng toạ độ; điểm cố định: nhóm theo tham số, cho hệ số bằng $0$ .

Tiếp theoPhương pháp →

Mục tiêu

Khởi động

01Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa đồ thị

2. Không phải đường nào cũng là đồ thị hàm số

3. Vẽ đồ thị bằng bảng giá trị

4. Đồ thị của hàm nhiều công thức

5. Đọc thông tin từ đồ thị

02Tóm tắt