Tìm tham số để các khoảng thoả quan hệ tập hợp

Cho $A$ và $B$ là các khoảng, đoạn, nửa khoảng. Hãy hình dung trên trục số:

• $A \subset B$: $A$ nằm gọn trong $B$. Đầu mút trái của $A$ không được "ra ngoài" bên trái $B$, đầu mút phải của $A$ không được "ra ngoài" bên phải $B$.
• $A \cap B = \varnothing$: $A$ nằm hoàn toàn bên trái $B$ hoặc hoàn toàn bên phải $B$ (không chung nhau điểm nào).
• $A \cap B \ne \varnothing$: phủ định của trên, tức là không rời nhau.
• $A \cup B = \mathbb{R}$ (khi $A$, $B$ không giới hạn): hai tập phủ kín trục, không để hở điểm nào.

Khi hai đầu mút trùng nhau hoặc sát nhau, kết quả phụ thuộc mở hay đóng. Hãy xét riêng điểm đó: điểm đó có thuộc từng tập hay không.

• $A \subset B$, phía trái. Gọi $p$, $r$ là đầu mút trái của $A$, $B$. Cần $p \ge r$. Nếu $p = r$ thì chỉ được khi $B$ đóng tại $r$ hoặc $A$ mở tại $p$. Riêng trường hợp $A$ đóng tại $p$ còn $B$ mở tại $r$ thì buộc $p > r$.
• $A \subset B$, phía phải. Gọi $q$, $s$ là đầu mút phải của $A$, $B$. Cần $q \le s$. Nếu $q = s$ thì chỉ được khi $B$ đóng tại $s$ hoặc $A$ mở tại $q$. Riêng trường hợp $A$ đóng tại $q$ còn $B$ mở tại $s$ thì buộc $q < s$.
• $A$ nằm bên trái $B$ và rời nhau. Gọi $q$ là đầu phải của $A$, $r$ là đầu trái của $B$. Cần $q < r$; hoặc $q = r$ mà ít nhất một trong hai tập mở tại điểm đó.

Tập như $[2m - 1;\ m + 1]$ chỉ khác rỗng khi $2m - 1 \le m + 1$. Với khoảng $(a; b)$ hay nửa khoảng, cần $a < b$ (hoặc $a \le b$ cho đoạn). Khi $A = \varnothing$ thì $A \subset B$ luôn đúng (tập rỗng là tập con của mọi tập), và $A \cap B = \varnothing$ cũng luôn đúng. Vì vậy cách giải đúng của $A \subset B$ gồm hai trường hợp: $A = \varnothing$ hoặc $A \ne \varnothing$.