Bài toán đếm bằng biểu đồ Ven

Vì sao? Khi cộng $n(A) + n(B)$ thì các phần tử của $A \cap B$ bị đếm hai lần (một lần trong $A$, một lần trong $B$). Trừ đi $n(A \cap B)$ một lần để mỗi phần tử chỉ được tính một lần.

Các hệ quả hay dùng:

• $n(A \setminus B) = n(A) - n(A \cap B)$ (số phần tử chỉ thuộc $A$).
• Nếu $A, B \subset E$: số phần tử nằm ngoài cả hai tập là $n(E) - n(A \cup B)$.

Hai vòng $A$, $B$ trong khung $E$ chia khung thành bốn vùng, ứng với bốn nhóm phần tử:

Tổng bốn vùng bằng $n(E)$.

Với ba tập $A$, $B$, $C$, biểu đồ Ven chia thành $7$ vùng trong các vòng (và một vùng ngoài). Công thức bao hàm và loại trừ:

Giải thích: cộng ba tập thì phần giao của hai tập bị đếm hai lần, phần giao của cả ba bị đếm ba lần. Trừ ba phần giao đôi thì phần giao ba bị trừ ba lần, hoá ra không còn được đếm, nên phải cộng lại một lần.

Biểu đồ Ven: điền từ vùng giao ra ngoài, kiểm tra tổng.