Đỉnh, trục đối xứng, cách vẽ parabol · Toán 10

Đỉnh, trục đối xứng và cách vẽ parabol

Hoàn thành bình phương

Mục tiêu

Biến đổi $y = ax^2 + bx + c$ về dạng $a(x-p)^2 + q$ và giải thích vì sao đồ thị là parabol.
Tính nhanh tọa độ đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a};\ -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$ , viết phương trình trục đối xứng, tìm giao điểm với hai trục.
Vẽ được parabol theo các bước chuẩn, biết ý nghĩa của $\Delta$ đối với số giao điểm với $Ox$ .

Khởi động

Bài trước cho ta biết $y = 2(x-2)^2 - 3$ là parabol dễ đọc: đỉnh $(2;-3)$ . Nhưng đề thường cho dạng "chưa gọn" như $y = 2x^2 - 8x + 5$ . Hãy khai triển $2(x-2)^2 - 3$ : ta được $2x^2 - 8x + 8 - 3 = 2x^2 - 8x + 5$ . Hóa ra hai công thức là một! Vậy có cách nào đi ngược từ $2x^2 - 8x + 5$ về $2(x-2)^2 - 3$ mà không phải đoán?

01Kiến thức cần nhớ

1. Hoàn thành bình phương

Với $a \ne 0$ , đặt $\Delta = b^2 - 4ac$ . Ta có

ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}.

(Bước giữa: thêm và bớt $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ để có bình phương một tổng.)

So với dạng $a(x-p)^2 + q$ của bài trước, đây là trường hợp $p = -\dfrac{b}{2a}, \qquad q = -\dfrac{\Delta}{4a}.$

Tung độ đỉnh có hai cách tính, dùng cách nào tiện thì dùng:

$y_I = -\dfrac{\Delta}{4a}$ , hoặc
$y_I = f(x_I)$ , thay hoành độ đỉnh vào hàm số (thường ít nhầm hơn).

Tương tácMáy parabol: kéo a, b, c

y = 2 x^{2} - 8 x + 5

a = 2, b = - 8, c = 5

Δ = b^{2} - 4 a c = 24

Δ > 0: hai giao điểm với Ox

I (2; - 3), x = 2

y = 2 (x - 2)^{2} - 3

Oy: (0; 5), đ o ˆ ˊ i xứng (4; 5)

Ox: x = 0, 775 hoặc 3, 225

a 2b -8c 5

Thử 2x² − 8x + 5 rồi kéo c giảm dần: đỉnh đi xuống, Δ đổi từ âm qua 0 sang dương, số giao điểm với Ox từ 0 lên 1 rồi 2. Bật “Hiện y = ax²” để thấy parabol là y = ax² tịnh tiến tới đỉnh I.

2. Vì sao đối xứng?

Dạng $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a}$ chỉ phụ thuộc $x$ qua bình phương của $x - x_I$ . Do đó hai điểm cách đều $x_I$ về hai phía (hoành độ $x_I + t$ và $x_I - t$ ) có cùng tung độ. Đồ thị đối xứng qua đường $x = x_I$ .

Hệ quả hay dùng: điểm $(0;c)$ có điểm đối xứng $\left(-\dfrac{b}{a};\ c\right)$ qua trục (vì $2x_I - 0 = -\dfrac{b}{a}$ ). Đó là một điểm "miễn phí" khi vẽ.

3. Giao điểm với các trục

Với $Oy$ : đặt $x=0$ , được điểm $(0;c)$ .
Với $Ox$ : giải $ax^2+bx+c=0$ .

$\Delta$	Số giao điểm với $Ox$	Hoành độ
$\Delta > 0$	$2$	$x = \dfrac{-b \pm \sqrt\Delta}{2a}$
$\Delta = 0$	$1$ (đỉnh nằm trên $Ox$ , parabol tiếp xúc $Ox$ )	$x = -\dfrac{b}{2a}$
$\Delta < 0$	$0$ (đồ thị nằm hoàn toàn trên hoặc dưới $Ox$ )	không có

Nếu $\Delta<0$ : với $a>0$ đồ thị nằm trên $Ox$ (đỉnh $y_I = -\Delta/4a>0$ ); với $a<0$ đồ thị nằm dưới $Ox$ .

Δ > 0 · hai giao điểm với Ox

Δ = 0 · tiếp xúc Ox

Δ < 0 · không cắt Ox

Cùng một parabol (a > 0) dời lên xuống: đỉnh dưới Ox, trên Ox, trên Ox.

4. Quy trình vẽ parabol

Tính $\Delta$ , tìm đỉnh $I$ và vẽ trục đối xứng $x=x_I$ (nét đứt).
Xác định bề lõm theo dấu $a$ .
Tìm giao với $Oy$ : $(0;c)$ và điểm đối xứng của nó qua trục.
Tìm giao với $Ox$ (nếu $\Delta \ge 0$ ).
Lấy thêm $1$ đến $2$ điểm phụ nếu cần, rồi nối bằng đường cong trơn qua đỉnh (đỉnh là chỗ cong, không phải góc nhọn).

02Tóm tắt

Đại lượng	Công thức
$\Delta$	$b^2-4ac$
Đỉnh	$I\left(-\dfrac{b}{2a};\ -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$
Trục	$x=-\dfrac{b}{2a}$
Dạng chính tắc	$a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a}$
Giao $Oy$	$(0;c)$ , đối xứng $\left(-\dfrac ba;c\right)$
Giao $Ox$	$\Delta>0$ : 2; $\Delta=0$ : 1; $\Delta<0$ : 0

Tiếp theoPhương pháp →