Tịnh tiến, đối xứng, chẵn lẻ · Toán 10

Tịnh tiến, đối xứng đồ thị và tính chẵn, lẻ

Dời đồ thị và lật gương

Mục tiêu

Biết tịnh tiến đồ thị sang trái, phải, lên, xuống thì công thức hàm số đổi thế nào, và ngược lại từ công thức đoán ra phép tịnh tiến.
Biết công thức của đồ thị đối xứng qua $Ox$ , $Oy$ và qua gốc $O$ .
Xét được tính chẵn, lẻ của hàm số và hiểu ý nghĩa hình học (đối xứng qua trục tung, qua gốc toạ độ).
Dùng hai ý trên để vẽ nhanh các đồ thị "họ hàng" của một đồ thị đã biết.

Khởi động

Em đã vẽ đồ thị $y = x^2$ . Nếu cần vẽ $y = (x - 3)^2 + 2$ thì có phải tính bảng giá trị từ đầu không? Đồ thị mới trông y hệt đồ thị cũ, chỉ bị dời chỗ. Và nếu một đồ thị lật gương qua trục tung vẫn trùng với chính nó, ta chỉ cần vẽ một nửa. Bài này chỉ ra cách nhìn ra những mối quan hệ ấy từ công thức.

Tương tácTịnh tiến theo vectơ (a; b)

y = f (x - a) + b, (a; b) = (2; 1)

y = (x - 2)^{2} + 1

Sang phải 2; lên 1

D = R, T = [1; + \infty)

Điểm cam I: đỉnh mới.

a 2b 1

Chọn hàm gốc, kéo điểm cam hoặc hai thanh trượt. Đồ thị xám nét đứt là đồ thị gốc; các chấm trắng chạy theo mũi tên sang chấm cyan. Thử a = 3 rồi a = −3: dấu trừ nằm trong ngoặc (x − a).

01Kiến thức cần nhớ

1. Phép tịnh tiến đồ thị

Cho đồ thị $(C)$ của $y = f(x)$ và hai số $a, b$ . Tịnh tiến mọi điểm của $(C)$ sang phải $a$ đơn vị và lên $b$ đơn vị (điểm $(x; y)$ chuyển thành $(x + a; y + b)$ ; $a < 0$ là sang trái, $b < 0$ là xuống dưới).

Vì sao dấu trừ trong $x - a$ ? Điểm $N(x; y)$ nằm trên đồ thị mới khi và chỉ khi điểm lùi lại $N'(x - a; y - b)$ nằm trên đồ thị cũ, tức $y - b = f(x - a)$ . Dời đồ thị đi về bên phải thì giá trị $f$ đã "xảy ra sớm hơn" a đơn vị: muốn thấy giá trị $f(0)$ ta phải đứng ở $x = a$ .

Đồ thị mới (cyan) đứng ở x thì mang giá trị mà đồ thị cũ (xám) có ở x − a. Điểm M(x₀; y₀) chuyển thành M′(x₀ + a; y₀ + b).

Hệ quả với tập xác định và tập giá trị. Nếu $(C)$ có tập xác định $D$ và tập giá trị $T$ thì đồ thị sau tịnh tiến có tập xác định là $D$ dời $a$ đơn vị (phần tử $x$ thành $x + a$ ) và tập giá trị $T$ dời $b$ đơn vị. Chiều biến thiên giữ nguyên, chỉ dời khoảng.

2. Phép đối xứng

Đối xứng đồ thị $y = f(x)$ qua	Đồ thị mới
trục hoành $Ox$	$y = -f(x)$
trục tung $Oy$	$y = f(-x)$
gốc toạ độ $O$	$y = -f(-x)$

Lý do: qua $Ox$ điểm $(x; y)$ thành $(x; -y)$ , qua $Oy$ thành $(-x; y)$ , qua $O$ thành $(-x; -y)$ .

Tương tácBa phép đối xứng

y = f (x) = x + 1

Qua Ox:

y = - x - 1

Qua Oy:

y = - x + 1

Qua gốc O:

y = - - x - 1

P (4; 3)

P_{1} (4; - 3), P_{2} (- 4; 3)

P_{3} (- 4; - 3)

t 4

Bật tắt từng bản sao và kéo t: P₁ đổi dấu tung độ, P₂ đổi dấu hoành độ, P₃ đổi cả hai. Với y = x³ − x, ảnh qua O trùng chính đồ thị.

3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Hai hệ quả:

Hàm số lẻ xác định tại $0$ thì $f(0) = -f(0)$ , nên $f(0) = 0$ .
Nhiều hàm không chẵn cũng không lẻ (như $x^2 + x$ ); riêng hàm $y = 0$ trên tập đối xứng thì vừa chẵn vừa lẻ.

Chương trình môn Toán 2018 không bắt buộc nội dung này trong bài hàm số, nhưng nó rất hữu ích để vẽ đồ thị, và là một dạng toán quen thuộc trong sách bài tập.

Tương tácGương: chẵn, lẻ hay không?

f (x) = ∣ x + 1∣ + ∣ x - 1∣

x = 1, 5 : f (x) = 3

f (- x) = 3, - f (x) = - 3

f(−x) = f(x) · f(−x) ≠ −f(x)

Kiểm 40 giá trị: hàm chẵn.

x 1,5

Kéo x: điểm Q(−x; f(−x)) chạm điểm rỗng xanh thì f(−x) = f(x) (chẵn); chạm điểm rỗng cam thì f(−x) = −f(x) (lẻ). Với √x, điểm Q biến mất: tập xác định không đối xứng.

02Tóm tắt

Tịnh tiến sang phải $a$ , lên $b$ : $y = f(x - a) + b$ .
Đối xứng qua $Ox$ : $y = -f(x)$ ; qua $Oy$ : $y = f(-x)$ ; qua $O$ : $y = -f(-x)$ .
Chẵn: $D$ đối xứng, $f(-x) = f(x)$ , đồ thị đối xứng qua $Oy$ . Lẻ: $D$ đối xứng, $f(-x) = -f(x)$ , đồ thị đối xứng qua $O$ .
Không chẵn không lẻ: $D$ không đối xứng, hoặc có một $x_0$ làm hỏng cả hai đẳng thức.
Tìm tham số chẵn/lẻ: so hệ số sau khi viết $f(-x)$ .

03Mở rộng

Đồ thị $y = |f(x)|$ và $y = f(|x|)$ . Giữ phần đồ thị $y = f(x)$ nằm trên $Ox$ , lật phần nằm dưới $Ox$ lên trên qua trục $Ox$ : được đồ thị $y = |f(x)|$ . Giữ phần đồ thị bên phải $Oy$ , lấy đối xứng phần ấy qua $Oy$ (bỏ phần bên trái): được đồ thị $y = f(|x|)$ , một hàm chẵn.

Tổng, tích chẵn lẻ. Tổng hai hàm chẵn là hàm chẵn; tổng hai hàm lẻ là hàm lẻ; tích hai hàm cùng tính chất là hàm chẵn; tích hàm chẵn với hàm lẻ là hàm lẻ. Mọi hàm xác định trên tập đối xứng đều viết được thành tổng của một hàm chẵn và một hàm lẻ: $f(x) = \dfrac{f(x) + f(-x)}{2} + \dfrac{f(x) - f(-x)}{2}$ .

Tiếp theoPhương pháp →