Tham số m để bất phương trình bậc hai nghiệm đúng với mọi x

Chứng minh một dòng đầu (các dòng khác tương tự). Nếu $a > 0$ và $\Delta < 0$ thì theo định lí dấu $f$ cùng dấu $a$ với mọi $x$, tức $f > 0$. Ngược lại, giả sử $f(x) > 0$ với mọi $x$. Khi đó $f$ không có nghiệm nên $\Delta < 0$ (nếu $\Delta \ge 0$ có $x_0$ để $f(x_0) = 0$, mâu thuẫn). Dấu của $a$ chính là dấu ngoài cùng, mà ngoài cùng $f > 0$ nên $a > 0$. Với dấu không ngặt $f \ge 0$ thì cho phép $\Delta = 0$ (nghiệm kép làm $f = 0$ tại một điểm).

Nếu $a$ phụ thuộc $m$ thì khi $a = 0$ biểu thức không còn là tam thức bậc hai, và các điều kiện trên không áp dụng. Phải xét riêng:

• Trường hợp $a = 0$: thay giá trị $m$ làm $a = 0$ vào, được biểu thức bậc nhất (hoặc hằng). Bậc nhất $bx + c$ có dấu thay đổi khi $b \ne 0$ nên không luôn một dấu; chỉ khi $b = 0$ thì còn lại hằng $c$, xét xem hằng đó có thoả yêu cầu không.
• Trường hợp $a \ne 0$: dùng bảng ở mục 1.

Kết quả cuối cùng là hợp của hai trường hợp.

• $f(x) > 0$ vô nghiệm $\iff$ $f(x) \le 0$ với mọi $x$.
• $f(x) \ge 0$ vô nghiệm $\iff$ $f(x) < 0$ với mọi $x$.
• $f(x) > 0$ có nghiệm $\iff$ không phải là $f(x) \le 0$ với mọi $x$. Tức: lấy các $m$ ở yêu cầu "$f \le 0$ với mọi $x$" rồi lấy phần bù.

Đây là mẹo giúp biến mọi biến thể thành bốn điều kiện đã có.

Khi $m$ chạy, hình parabol $y = ax^2 + bx + c$ thay đổi. Các giá trị $m$ cần tìm là những $m$ khiến parabol:

• nằm hẳn trên trục $Ox$ (không chạm): luôn dương;
• nằm trên nhưng được phép chạm $Ox$ tại đỉnh: luôn không âm;
• tương tự cho phía dưới.

• Với mọi $x$: ($>0$) $\Leftrightarrow$ $a>0$, $\Delta<0$; ($\ge0$) $\Leftrightarrow$ $a>0$, $\Delta\le0$; ($<0$) $\Leftrightarrow$ $a<0$, $\Delta<0$; ($\le0$) $\Leftrightarrow$ $a<0$, $\Delta\le0$.
• $a$ chứa $m$: xét $a = 0$ trước, rồi $a \ne 0$, lấy hợp.
• Vô nghiệm / có nghiệm: dùng phủ định về dạng "với mọi $x$".